III. Trouver l’angle f compris entre ces tangentes
Lorsqu’une équation du deuxième degré représente deux droites, l’équation ebtenue en égalant à zéro ses trois termes du deuxième degré est celle de deux droites menées par l’origine, parallèlement au deux premières : l'angle y dépend donc seulement des trois termes du deuxième degré de l’équation des tangentes. En développant i ce point de vue l’équation de l’Exercice II, on obtient (71)
IV. Trouver le lieu de l’intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.
En égalant à zéro le dénominateur do la valeur de lang y, on trouro
x’ -e = ti' -t- h',
équation d’un cercle ayant même centre que l’ellipse.
Le lieu de l’intersection des tangentes qui se cou|ient .sous un angle donné est en général une courbe du quatrième degré.
170. Trouver Téqtialion, pur rapport aux axes, du diamètre conjugué de celui qui passe par le point (x'. f') de. la courbe.
Le diamètre passant par l’origine est parallèle { 109) à la tangente menée par le point (j;', )•'); son équation est donc
xx'
Si 5 et V sont les angles (jiie font avec l’a\e des x le diamètre primitif et son conjugué, on aura évidemment
tangO = --;
d’ailleurs, d’après l’équation du diamètre conjugué (21 ), ou a
tang^' = —
par suite.
lang 0 lang 0' =
DE l’ellipse et DE l’hïpebbole. 233
Celle relaiion aurail pu se déduire de celle du n" H3. Dans le cas de l’hyperbole, elle devieni ( 168)
langO langy = — •
171. Puisque dans l'ellipse langO langO' esl négalif lorsqu'un des angles 9, V eslaigu, c’esl-à-dire quand sa langenle esi posilive, l’aulre angle 0', 0 csi obius, puisque sa langenle esl négalive; donc, dans l'ellipse, deux diamètres conjugués ne ^ peuvent jamais être situés d'un même côté du petit axe, puisque ce pelil axe correspond à 0 = go”.
Dans l’hyperbole, au coniraire, langOlangO' esl positif; par suite, 9 el 9' sont tous deux aigus ou tous deux obtus. Donc, dans l' hyperbole, deux diamètres conjugués se trouvent toujours d’un même côté de l'axe conjugué. Quand tang9 esl
plus pelil que tang9' esl plus grand; el comme (167) le
diamètre correspondant à l’angle dont la langenle esl ^ esi
l’asymptote qui (167) sépare les diamètres rencontranl la courbe de ceux qui ne la renconlrenl pas, on voit que, dans l'hyperbole, lorsqu'un diamètre rencontre la courbe en des points réels, son conjugué ne la rencontre pas. On reconnaît en même temps ipie chaiiuc asymptote peut être considérée comme étant son diamètre conjugué à elle-mèine.
172. Trouver les coordonnées x", y” de l'extrémité du diamètre conjugué de celui qui passe parle point (x',)') de la courbe.
Il suffit, pour cela, de résoudre, par rapport à or et y, les équations de la courbe eldu diamètre conjugué
xx'
En substituant successivemenl dans la seconde les valeurs de X el de)‘ Urées de la première, on trouve sans difficulté
173. Exprimer les longueurs du diamètre {a') et de son conjugué {b') en fonction de l'abscisse de l'extrémité du premier.
1“ On a
mais
donc
fl' A»
2" On trouverait de même
donc
On déduit de là
La somme des carrés de deux diamètres conjugués d'une ellipse est constante (to9, Ex. III).
17V. Dans l'hyperbole, il faut changer les signes de A’ et A'’. On a alors
fl" — A'-= rt’ — A’.
La différence des carrés de deux diamètres conjugués d'une hyperbole est constante.
Si, dans une hyperbole a ^ b, son équation devient
et l’hyperbole est dite équilatère.
Le théorème précédent montre que, dans une hyperbole équilatère, un diamètre quelconque est égal à son conjugué. Les asymptotes de l' hyperbole équilatère forment un angle
DE l'ellipse et de l’hyperbole. 23Ô
droit, puisqu'elles sont données par l’équalion
Aussi appelle-t-on souvent l’hyperbole équilatère ; hyperbole rectangulaire.
La condition pour que l’équation générale du deuxième degré représente une hyperbole équilatère est a = — b; elle exprime en effet {T*) que les asymptotes {ax' ■+■ 2/1 xy -t- 6y’) forment un angle droit. D’ailleurs, si l’hyperbole est rectangulaire, elle est équilatère, puisque ( 167 ) la tangente de la moitié
de l’angle compris entre les asymptotes est^t et comme cet angle est de 45 degrés, on a 6 = a.
175. Trouver la distance p du centre à la tangente en (x',y').
La distance de l’origine à la droite
.rx' y y'
a pour expression (23)
I ah
mais nous savons (173) que
donc
ab
176. Trouver l'angle 9 compris entre deux diamètres conjugués.
L’angle 9 compris entre deux diamètres CP, CP' {Jig. 5t)) est égal à l’angle CPT compris entre l’un d’eux CP et la tan-
336 CUaPITBB 31.
gonlc PT parallèle à l’autre CP'. Mais CT élanl la pcrpcndi-
Fig. 5g.
culaire abaissée du centre sur la tangente, on a
donc
sinCPT — — a ■
