CP

si 11 9 —

ab a' b'

L’équation n'6'sin9 = fl/i montre que l'aire du triangle formé en joignant les extrémités de deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole est constante (159, Ex. II J.

177. La somme des carrés de deux diamètres conjugués d’une ellipse étant constante, leur rectangle est maximum lorsqu’ils sont égaux, et siii9 est alors un minimum : donc les angles aigu et obtus compris entre deux diamètres conjugués égaux sont respectivement le plus petit et le plus grand des angles f|ue peuvent former deux diamètres conjugués.

La longueur des diamètres conjugués égaux s'obtient en faisant a' = b' dans la relation a"‘ 4- è'* - u’ 4- b', alors est la moitié de o’ 4 b' : donc

9 ab

L’angle que ces diamètres font avec l'axe des x se déduit de l’équation

tang5tang(/' =

en y faisant tangS = — tang 9', puisqu’ils font des angles égaux.

DE l’ellipse et de l’uyperbole. 237

mais de signes contraires, avec l’axe des jt(162). On trouve ainsi

taneO = -• a

Si donc (167) une ellipse et une hyperbole ont mêmes axes en grandeur et en position, les asymptotes de riiyper7 bole coïncident avec les diamètres conjugués égaux de l’ellipse.

L’équation générale de l’ellipse, rapportée à deux diamètres conjugués { 168), devient x' -t- j*= lorsqu’on y fait «'= b\ autrement dit lorsqu’on la rapporte aux diamètres conjugués égaux. Elle prend alors la même forme que l’équation du cercle x’-i-j-*= r’, mais les axes de coordonnées sont obliques.

178. Exprimer la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur une tangente en fonction des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes.

Soient (y, y^')le point de contact de la tangente,/» la longueur de la perpendiculaire, cl a l’angle qu'elle fait avec l'angle des x. Pour mettre l’équation

xx' rr’

sous la forme a:cosa -t-rsina —p (23), il suffit d'y faire

x' cos a r' sina

fl’ P ’ b’ P '

et si l’on substitue, dans l’éi|uation de la courbe, les valeurs de x' ei/ ' qu’on en tire, on trouve

/»’ = fl’ cos’ a 4- è’sin’a { " ).

L’équation de la tangente prend alors la forme

X cos a -4-/ sina — y «l’cos’a -t- b' sin’a = o,

La distance du point (x', >■') à la tangente est donnée par

(■) De mime p' = a'’cos’«-e « cl cUnl les angles que la per-

pendiculaire rail avec deux diamètres conjugues.

l’expression (34)