CHAPITRE XI

yrt’cos’a -t- 6’siii’a — x'cosa —y' sina,

pourvu que l’on considère celle distance comme positive lorsque le point se trouve du même côté de la tan-

gente que l’origine.

EXERCICE

Trouver le lieu do l'intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.

Soient />, // les perpendiculaires abaissées du centre sur ces tangentes, on a

= n’ cos’a -t- ê’ sin’a, sin’x + i’ cos’a, n’-i- ê’.

Mais le carré de la distance du centre à l’intersection do deux droites qui SC coupent à angle droit est égal à la somme des carrés des distances de ce centre aux droites elles-mêmes. La distance do ce point d’intersection au centre est constante, et le lieu cherché est un cercle (109, Ex. IV).

179. Les cordes qui joignent les extrémités d’un diamètre à un point de la courbe s’appellent cordes supplémentaires.

Les diamètres parallèles à un système de cordes supplémentaires sont conjiifrués.

Considérons le triangle formé en joignant les extrémités d’un diamètre AB à un point D de la courbe, puisque la droite menée par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième, le diamètre de la corde AD sera parallèle à BD, et celui de la corde BD sera parallèle à AD. On peut démontrer analytiquement ce théorème en formant les équations de AD et de BD, et en montrant que le produit des tangentes des angles que

font ces cordes avec l’axe des x est égal à -•

Nous pouvons maintenant construire géométriquement deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné. Si l’on décrit en effet sur un diamètre un segment capable de l’angle donné, on aura, en joignant aux extrémités de ce diamètre les points où ce segment coupe la courbe, deux cordes supplémentaires qui seront parallèles aux diamètres cherchés.

DE l'ellipse et de l’byperbole.

EXERCICES

I. U’S langentos menées aux exlrémités d'un diamètre sont parallèles. I.eurs équations sont en effet

Ce théorème peut aussi so déduire du n° I iC, en remarquant que le centre est le j>ôle de la droite située à l’infini (IM).

II. Une tangenle quelconque menée à une section conique à centre détermine sur deux tangentes fixes et parallèles des segments dont le rectangle est constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle à ces tangentes fixes.

Prenons pour axes le diamètre b' parallèle aux tangentes et son conjugué les équations de la courbe et do la tangente variable seront

Jt* l’ xx'

En faisant alternativement x = «', x = — «' dans la deuxième équation, on trouve pour les segments.)- déterminés sur les tangentes

Leur produit

se réduit à è” lorsqu’on exprime que le point (x', .v'j est sur la conique.

III. Le rectangle des segments de la tangenle variable (Ex. II) est égal au carré du demi-diamètre qui lui est parallèle.

Le rapport entre le segment déterminé sur une des tangentes parallèles et le segment adjacent de la tangente variable est le même que relui des diamètres pa rallèles à ces tangentes (149); donc le rapport du rectangle des segments des tangentes fixes au rectangle des segments de la tangenle variable est égal à celui des carrés des diamètres i>arallèles aux tangentes : le premier rectangle étant égal au carré du demi-diamètre parallèle, le second sera aussi égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente variable.

IV. Le rectangle des segments déterminés sur une tangente par deux