CHAPITRE U

lion par «, i*l la relranrlianl de celle de la wurlie, nous Irouvoiis a (/i — np ) xy -y- {h — /u/ ) ,r ’ '\fr ~ o.

(Vue ('“qualion. qui est celle ( tO) d’un lien passant par les points d'intersection des deux droites et de la conique, se décompose en deux :

y - O, i[/i — ftp) .T -r {!) — <■"/). 1 +- 'if - O ;

la première représente l'axe des x laiifient à la courbe, et la seconde la corde joignant les extrémités des deux droites.

Le |K)iiil où celte corde rencontre la normale (c'est-à-dire l'axe des ) est défini par la relation

Mais si les droites menées par l'origine se roii|Mml à angle droit, on a f/ — ~ I (7i), et ta longueur du segment déterminé sur la normale est constante, puisque

Si la courbe est une hyperbole équilatère « r- l> = o, la l orde est constamniimt parallèle à la normale. Donc, si par un point d'une byperlKile équilatère, on mène deux cordes formant un angle droit, la perpendiculaire abaissée de ce point sur la corde joignant leurs extrémités est tangente à la courbe.

III. Trouver les coordonnées de l'intersection des tangentes aux |K)iiits

Les coordonnées x et y de l'intersection des droites xx' rr' xx" 11'

n*' ^ IF ^ IF '

sont

IV. Trouver les coordonnées .r et i de 1 intersection des normales menées aux points {x‘, y'}, (x",

Réi>.

- Fjx'x’X

rt‘

(•) (ie Iheorùmo rst encore vrai si Ips droitos sont menées de lello sorlp, qiio le produit des Ut)f;entes des qu*elles font avec la normale soit roii-

stant; car alors a est ronsUnl, <*t par suite le serment — (*st cuiistaiit.

au •— o

DK l'eLLIPSB et DF. l.’nYFBRBOLK. 7-45

X et Y clanl les coordonni^cs île rinterseelion des Uiif:enles Irouvée.s é l'Ex. iiréiuklciit.

Ij's valeurs de X el Y peuvent se mettre sous une autre forme, puisipi'cn rnmbinant les »V|uations

on trouve

Donc

On [M'iil encore écrire

Jt IV. — Foyers et directrices.

I8‘2. On appelle foym d’une ellipse deux points F, F' {Ji{’.67.) situés sur le grand axe, el egalement distants du

Fli;. (il.

centre (i de la <|uantité

Les foyers d’une hyperbole sont situés sur l’axe iransverse et également distants du centre de la quantité

rb v«‘ -+- A’ = ± f.

Exprimer la distance d'un point de l'ellipse au foyer.

Le carre de la distance FP d’un point P {x',y') au foyer F

>46 c^i'apitrb XI.

dolU les .coordonnées sont x.= ■+■ f, .»•= o a pour expression FP = (x’ — c )* + y!^== x'’ — I ex' -I- f’.

Mais (173)

x’’ + r '“ = 6' + e’x'’ et .ft’ -4-

donc

FP — //’ — »éx' -4ï-e’x'’, et coinnii* c = <ie, il vient en définitive FP -- a — e.r’.

Nous rejetons la valeur ex' — a obtenue en donnant l’autre signe à la racine carrée; carx' étant toujours plus petit (jue a, et e plus petit que i, la quantité (ex'— a) est constamment négative. Cette valeur ne saurait donc convenir dans le cas actuel, où nous n'avons pas à considérer la direction du ravon vecteur FP, mais seulement sa grandeur absolue.

Pour trouver la distance F' P du point (x', j') à l'autre foyer, il suffit de changer le signe dp c dans les formules préccWlentes; par suite

F' P = n + ex'.

Si l’on ajoute ensemble les valeurs de ces distances, on a FP -f- F' P 2rt.

Donc In somme des distances d'un point d’une ellipse aux foyers est constante et ép^ale au grand axe.