F' P - FP
La différence des distances d'un point d'une hyperbole aux foyers est constante et éj^ale à l'axe transcerse.
Dans les deux courbes, le produit des distances d’un point au foyer ± (o’ — e’‘x‘‘) est égal au carré />’’ du demi-diamètre conjugué de celui qui passe par ce point ( 173).
18i. On peut démontrer la réciproque des théorèmes précédents en cherchant le lieu du sommet d’un triangle dans lequel on donne la base 2c, et la somme ou la différence 20 des deux autres cotés.
En prenant le point milieu de la base pour origine, la hase pour axe des.r, et une perpendiculaire pour axe des >•, l’équation du lieu sera
v'.r’ -h {c -h xy ± )/y’ + {c — x)' — 20, ou, en réduisant,
Si l’on donne la somme des côtés, a est plus grand que c, puis(]ue la somme des côtés est plus grande <jue la base : le coefficient de r’’ est positif et le lieu est une ellipse.
Si l’on donne \?i différence, a est plus petit quec, le coefficient de y’ est négatif et le lieu est une hyperbole.
18.). I .es théorèmes précédents permettent de décrire d’un mouvement continu une ellipse ou une hyperbole.
Si les extrémités d’un fil sont attachées en deux points fixes F et F', il est évident )|u’une pointe qui se mouvra le long du fil en le tendant constamment décrira une ellipse dont les foyers seront F et F', et dont le grand axe sera égal à la longueur de ce fil.
Pour décrire une hyperbole, fixons une règle en un point F,
CIIAPITRK XI.
(le inuiii(;rc fiu’ellc puisse lourner amour de re poiiil, el allarlions un iil d’une pari en F', de l’aulre à un point H de la rt'gle, on le l'aisnnl passer dans un anneau P (Ji{i- 63); le point !' (U;-
Ki|;. t’.T-
r'ol
('rira uiu! hvperbole lors(|u’on fera tourner la règle et glisser l'anneau en tendant le Iil. En effet, F'P H- PK étant ronstant, il en est de même de FP — F"' P. Les points F et F’ sont les füjers de l’hyperbole dont l’axe iransverse est égal à la difh*rence de longueur du fil et de la règle.
186. La polaire d’un foyer s’appelle dircvlrice de la section coni(jue. La directrice est donc { 189) perpendiculaire au grand
a\(‘ el siiuee a une distance ± — du centre.
La distance d’un point de la courbe .à une directrice est
rt’ , a , , ,
X — — (</ — e.r ) — — (a ~ ex )',
d’ailleurs, celle de ce point au foyer correspondant est n — c.r' : donc Ut dislance d’un point de la courbe au foyer est dans le. rapport constant de e à i avec sa distance à la directrice.
Réciproquement , on peut délinir une section conique comme le lieu d’un point tel, (luc sa distance à un point fixe foyer) soit dans un rapport constant e : i (fig. 64) avec sa
Fip.H'i.
distance .à une droite fixe (directrice). L’est même sur celle
DE l'ellipse et de l’hYPERBOLK.
dénnitioii que plusieurs géomètres ont basé la théorie des sections coniques.
Prenons la droite fixe pour axe des x, et soient x', )•' les coordonnées du point fixe, e le rapport constant; l’équation du lieu sera
et représentera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que e sera inférieur, supérieur ou égal à l’unité.
EXERCICE
Si une cüiirbo est telle, que la distance p d’un quelconque do ses poiols (jr, y) h un point (i\o puisse s’exprimer [lar une fonction rationnelle et linéaire des coordonnées cette courbe est une section conique ayant le point fixe pour foyer (*).
(ielle distance p peut s'exprimer par
et comme A.c -t- Bj- -t- C est proportionnel à la distance du point {x, y) à la droite (A.c -i- B,)' h- C = oj, cette équation exprime que la distance d'un point (a*, de lu courla^ au point fixe est dans un rapport constant avec sa distance à une droite fixe.
187. Trouver la distance FT du foyer F à une lansente PT (Jig. 62).
1.8 distance du foyer F(-t- c, o) à la tangente PT, dont l’é-
quation est -4- = 1, a pour expression (.’li)
ex'
Mais(17.'>)
a* b* <tb
(•) O* Cnnidiruttc (•eomrtrYt |>.85.
ïSo
donr
kt=‘(„-,^)=‘fp.
On trouver.iil de la même manière
VT = ~ [a ex‘) = ~ 0 h
d'uii
|iniM|ne
FT.F'ï'^è, «' — x'* :: 6'".
Le produit des distances des foyers à une tunjj^ente est constant et é^al au carré du demi-petit axe.
('elle iiropriélê est rommune à l’ellipse et à l’hyperbole.
188. Lu tangente TV fait des angles éj^aux avec les rayons vecteurs PF, PF', qui vont du point de contact P aux deux foyers F et F' {.Jip;. 6'J, <>5).
On a
FP
mais
= sinFP’I'.
Le sinus de l’angle que le rayon vecteur FP fait avec la tan-
gwite TT' est ainsi égal à un calcul analogue conduirait à
la même valeur pour le sinus de l’angle F' P T' que l’autre rayon vecteur F' P fait avec la tangente PT'. Ces deux angles sont donc égaux..
Cette propriété est vraie pour l’ellipse et l’hyperbole; mais
Kii;. fij.
en examinant les fi(r. 6a et 65, on voit que la tangente à l’ellipse
DB l’bllipse et de l’hyperbole.
est la bissectrice extérieure de l’angle formé par les rayons vecteurs allant du point de contact aux foyers, tandis que la tangente à l’hyperbole en est la bissectrice intérieure.
Donc une ellipse et une hyperbole liomofocales (ayaiM même foyer) se coupent à angle droit, c’est-à-dire de telle sorte que leurs tangentes respectives aux points d’intersection soient perpendiculaires.
EXEHCICE.S.
I. Démontrer analytii)iicmcnl qu’une ellipse et une ItrpprbOle lioinofocak-s SC roupeiit à angle droit.
Los coordonnées .r', r' de l’intersection des conicpies
satisfont à la relation
obtenue en retranchant la deuxième érpiation de la première. Mais si les coniques sont homofocales - Ir— h'', et alors la relation devient
ce qui est la condition (‘.12) pour que les deux UingenU'S ' .r.r' rr' .Tx' )•>'
soient perpendiculaires.
II. Trouver la distance du rentre à la tangente, estimée parallèlement à l’un des rayons vecteurs allant du point de contact aux foyers.
Elle s'obtient on divisant la distance ^ du centre à 1a tangente par le
sinus ^ de l’angle compris entre le rayon vecteur et la tangente; elle est donc égale à a.
III. Vérifier que la normale, qui est la bissectrice de l'angle compris entre les rayons vecteurs focaux, divise la distance des foyers en deux segments pro|>ortionnels aux rayons vecteurs adjacents.
CIIAFITRk XI.
La distance du pied de la normale au centre est e’x' (180); scs distances aux foyers sont donc c ■+- e'.i', c — c’ j- , et par suite res|H!ctivement égalts aux produits de n ■+- rjr', a — r.r’ par r.
IV'. Mener à l'ellipse une normale par un [loint du (K'til axe.
Le cercle passant par le point donné et les deux foyers cou|m' l'ellipse en des points qui appartiennent aux normales cliercliées.
181). (Considérons deux langonies PT, P( (Jig. (i(j) menées
Hj*. tüj.
TV
à une conique à centre par le point P; puisque (187) le produit des distances FT, F'T' des foyers à une langenle PT est constant, nous aurons
FT.F'T' - F (.F' ou
FT JVV.
FT
Mais py est le rapport des sinus dos angles partiels TPF,
FP/ dclerminé.s par la droite PF dans l’angle total TP/; de F' /'
meme 5x7^77 est le rapport des sinus des atigics partiels t'PF',
F'PT' déterminés par la droite PF' dans ce même angle TP/ ; donc les angles TPF", /'PF' sont égaux.
La tangente menée en P à une section conique passant par ce point P et ayant F et F' pour foyers fait des angles égaux avec les rayons vecteurs FP, F'P (188); par suite de ce qué nous venons de démontrer, celte tangente fait aussi des angles égaux avec les droites PT, P/ : donc les deux tangentes PT,
Dï i/elupse et de i.'hyperboi.e.
I*/ nienéfs à une conique par un point P d'une conique /loniofocale sont également inclinées sur In tangente menée en P à la deuxième conique.
1»0. 7 rouver le lieu des projections d'un foyer sur les tangentes.
L:i longueur de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la langenle peut s’exprimer en fonclion des angles ipie cette perpendiculaire lait avec les axes en faisant dans la formule
P — \^a^ cos' a -I- le sin’a — .r' cos a — r' sin x
«lu n" 178. x' = c, >•' = <>: on trouve ainsi, pour l’équation polaire du lieu.
ou
P = cos’a -h le sin'at — c cosa,
P -t- 2cp cosa ■+■ c' cos’ a — o’ cos’ a -f- le si n’a;
par suite
p’ -t- 2«-p cosa — le.
C’est l’équation polaire d’un cercle (95) ayant son centre sur l’axe des x à une distance — c du foyer; ce cercle est ainsi concentriijue à la coni(|ue ; son rayon est égal à a.
Donc la projection d'un foyer sur une tangente à F ellipse ou ù l'hyperbole se trouve sur le cercle ayant pour diamèire le grand axe de l'ellipse ou l’axe transvase de l'hyperbole.
Kéciproquenienl, si par un point F (Jig. (Î2), on mène un rayon vecteur FT à un cercle, et une perpendiculaire T^’ à FT, cette perpendiculaire TP sera tangente à une section conique ayant F pour foyer, et qui sera une ellipse ou une hyperbole, suivant que le point F sera à l'intérieur ou à l’e.rtérieur du cercle.
En se reportant au n° 188, Ex. II, on voit que la ligne C'f, dont la longueur est a, est parallèle au rayon vecteur F' P aboutissant au foyer.
191. Trouver l’angle sous lequel est vue, du foyer la tangente menée à une section conique à centre par le point {x, j).
