PP P P
Donc
cos{G - 0') =
PP
En substituant, dans celle expression, la valeur de y > ' tirée de l'équation de la tangente
xx’ YŸ
on trouve
pp' cos( 6 — 0’) — xx' -h ex -+■ ex' C’ ; xx' h'
= e’xx'-(- ex ■+■ ex' -4-a’ = (a-Hex)(rt-f- ex'), cl, comme p' - «-H ex', on a en délinilive (*)
cos(0
Celle valeur ne dépend que des coordonnées x et r du point (x, j) cl ne renferme pas celles du point de contact; donc les angles sous lesquels sont vues, du foyer, les deux tangentes menées par le point (x,y) sont égaux. Par suite, l'angle sous lequel une eorde est vue du foyer a pour hisseelrice ta droite menée par le foyer au pôle de la eorde.
192. La droite joignant le foyer au pôle d'une corde menée par ce foyer est perpendiculaire à cette corde.
Ce théorème peut se déduire du précédent en observant que l'angle sous lequel est vue la corde est alors de 180 degrés, ou bien se démontrer directement de la manière suivante :
(•) O’ Rkie!<, Coordinate Geometr^^ p. i56.
DK l'eLLIPSK et DK l’iIYPERBULE.
La perpendiciilairf*, abaissée d'un poini {x\ >•') sur la polaire de ce point
a pour équation
- rfr — f’-
Mais, quand (x’,y') se trouve sur lu directrice, on a jr' =:
et réquation de la polaire ainsi que celle de la perpendiculaire sont satisfaites par les coordonnées du foyer x = c, y o.
Lorsqu’une courbe est exprimée en coordonnées polaires, on appelle sous-tangente polaire le segment déterminé par la tangente et le pôle sur la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur. Le théorème que nous venons de démontrer peut alors s’énoncer de la manière suivante :
Le foyer étant pris pour pôle, la directrice est le lieu des extrémités des sous-tangentes polaires.
Nous prouverons plus loin ( Chapitre XII ) que les théorèmes énoncés dans ce numéro et le précédent sont encore vrais dans le cas de la parabole.
EXERCICKS.
I. L’angle sous lequel est vu du foyer le segment déterminé sur une tangente mobile par deux tangentes fixes est constant.
Cet angle est (191) la moitié de celai sous lequel est vue la corde de contact des deux tangentes fixes.
