L’ellipse rapportée à son sommet a pour équation

ou

TL b' h

r’=: X x' =z px —

Donc, dans une ellipse, le carré de l'ordonnée est plus petit que le rectangle du paramètre et de l'abscisse.

On trouverait de même, pour l'hyperbole rapportée à son sommet,

y>=px+-x\

Dans l’hyperbole, le carré de l’ordonnée est donc plus grand que le rectangle du paramétre et de l’abscisse.

DE l'bi.lipse et DE l'htperbole. 25g

Nous verrons plus loin que, dans la parabole, ces quantiiés sont égales. '

C'esl en raison de ces propriétés que les noms de parabole, hyperbole el ellipse furent donnés autrefois aux courbes qui nous occupent (*).

§ V'. — Asymptotes.

195. Les propriétés' que nous venons d’étudier sont communes à l’ellipse et à l’hyperbole; il n’en est pas de même des suivantes, relatives à l’hyperbole seulement, parce qu’elles dépendent des asymptotes, qui, dans l’ellipse, sont imaginaires.

Nous avons vu (136) que l’équation des asymptotes s’obtenait en égalant à zéro l’ensemble des termes du deuxième degré, le centre étant pris pour origine. L’équation de la courbe rapportée à deux diamètres conjugués étant

celle des asymptotes sera

Les asymptotes sont parallèles tfux diagonales du parallélogramme ayant pour côtés adjacents les deux demi-diamètres conjugués. Soient CA et CB i^g. 6g) les deux diamètres conjugués fl' et b' auxquels est rapportée la courbe. L’équalion de la diar b'

gonale CT est ^ CT coïncide donc avec une asymptote.

L’autre diagonale AB, ayant pour équation ^ -t- ^ = i, est parallèle à l’autre asymptote. {Foirau n“ 167.)

{•) f'oir Ptrres, Math. Coll., Ht. VII.

CHAPtTM XI.

On peut donc, étant donnés deux diamètres conjugués d'une hyperbole, trouver les asymptotes, ou bien déterminer le dia-

Fic. G9.

mètre conjugué d'un diamètre donné, connaissant les asymptotes. Si CA est le diamètre donné, on mènera par le point A une parallèle AB à une asymptote, de manière que cette parallèle AB soit divisée en deux parties égales par l'autre asymptote : la droite CB sera le diamètre conjugué de CA.

196. Le segment déterminé par les asymptotes sur une tangente est divisé en deux parties égales au point de contact et est égal au diamètre parallèle de la tangente.

Ce théorème n’est qu’un corollaire du précédent, puisque AT — b'= AT'; mais on peut le démontrer directement. Prenons pour axes le diamètre passant par le point de contact et son conjugué, l’équation des asymptotes sera

jr’

Pour X = a’, elle donne

mais la tangente en A étant parallèle au diamètre conjugué, cette valeur b' de l’ordonnée n’est autre chose que le segment déterminé par l'asymplote sur la tangente.

197. Si une droite PG coupe une hyperbole , les segments DE, FG déterminés sur cette divile par la courbe et les asymptotes CD, CG sont égaux.

DE l'ellipse et DE l’iIÏPERBOLE. 261

Prenons pour axes le diamètre CB, parallèle à DG, et son conjugué CA (^g. 70): il résulte du numéro précédent que le

Fifi. 70.

segment DG est divisé en deux parties égales par le diamètre. CA; il en est de même de la corde EF. Donc DE = FG.

Les longueurs de ces. lignes peuvent se trouver facilement, car de l'équation des asympiotes

nous déduisons

jr(=DM = MG) = ±^2-, et de l’équation de la courbe

nous tirons

.r(=EM = FMj = ±6'

donc

DE(=FG)=6'(i-y/|ï:;)

et

198. De ces équations, il résulte que le rectangle DE. DF est constant et égal à 6'’; par suite, plus DF sera grand, plus DE sera petit. Mais à mesure que la droite DF .s’éloigne du centre, sa longueur augmente, et en prenant x sufrisamment grand

CHAPITHB XI.

nous pouvons rendre DF plus grand que loule quantiié donnée. Donc :

Plus une sécante sera éloignée du centre, plus la portion de cette sécante comprise entre l’asymptote et ta courbe sera petite; et en augmentant la distance de la sécante au centre, on peut rendre cette portion plus petite que toute quantité donnée.

199. Si l’on prend les asymptotes pour axes, les coefficients g et h de l’équation générale, ainsi que les coefficients a et 6 disparaissent : les premiers, parce que le centre de la courbe "est pris pour origine; les seconds, parce que les axes rencontrent la courbe à l’infini (138, Ex. IV). L’équation de l’hyperbole prendra donc la forme

xy = /i ’,

qui exprime que l'aire du parallélogramme formé par les coordonnées est constante.

L’équation d’une corde passant par {x',y'), {x", y") est alors (86)

{x-x'){j-y'') = xy-/,\ ou

En y faisant x" =x", y'=y", on aura pour l’équation de la tangente en {x', >•')

x'y +y'x = :x k', qui devient, en remplaçant k' par x'y'.

Les segments faits sur les asymptotes par une tangente ont ainsi pour valeur 7.x', 2y'; leur rectangle est égal à 4/»’. Donc:

L'aire du triangle formé par une tangente et les asymptotes est constante et égale au double de l'aire du parallélogramme construit sur les coordonnées.

DE l'ellipse et DE l'hTPBRBOLE.

EXERCICES

I. Los droites joignant à deux points fixes {x', jr’), d’une hy-

perbole un point quelconque (x", r") do la courbe, déterminent sur une asymptote un segment de longueur constante.

L’équation d’une de ces droites est

en y faisant / = o, on trouve pour le segment qu’elle détermine sur l’axe des X à partir de l’origine, x'"-t-x';on trouverait, de même, pour le segment déterminé par la deuxième droite x"-4- x". La dilTérencex' — x* entre ces deux quantités est le segment cherché. Sa valeur est indépendante do x", c’est-à-dire de la position du point mobile.

II. Trouver les coordonnées x et / de l'intersection des tangentes menées aux points (x', /'), (x’, /').

En résolvant par rapport à .r et / les équations des tangentes

x'/ -(-/'x = ïX’, x’/ -r-/'x = aX’,

on trouve

aX’ (.c' — x')

et en observant que

on a

On trouverait de mémo

200. Exprimer la quantité /i’ en fonction des axes de la courbe.

Puisque l’axe transverse est la bissectrice de l'angle forme par les asymptotes, les coordonnées du sommet s’obtiendront en faisant x=y dans l’équation xy — h'. On a ainsi pour le sommet

mais, 6 élanl l’angle compris entre l’axe el l’asymplole, on a a — 1 /rcosO,

puisque a est la base d’un triangle isbsccle ayant k pour autre côté et e pour angle à la base ; d’ailleurs { 16.') )

donc

cosô =

y, Vu' -t- b‘

L’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes devient ainsi

201 . La distance du foyer à une asymptote est égale an demiaxe conjugué b.

Cette distance est égale à csinO, et comme

on a

c=\'a'-i-b‘, sinO =

c sinO = b.

Cette propriété peut aussi se déduire, comme cas particulier, du théorème connu : « le. produit des distances des foyers à une tangente est constant et égal à — 6’ n; car l’asymptote peut être considérée comme une tangente dont le point de contact est à l’infini (15i), et les distances des deux foyers à cette asymptote sont égales.

202. La distance du foyer à un point de la courbe est égale à la distance de ce point à la directrice estimée parallèlement à une asymptote.

La distance du point au foyer est égale à e fois la distance du point à la directrice (186), et cette dernière est à la distance estimée parallèlement à l’asymptote dans le rapport de cosC,

c’est-à-dire de ^(167) à i.

Digitizcd'by Coogle

DE l’ellipse et de l’iitpehbole.

On peut déduire de là un procédé pour décrire l’hyperbole d’une manière continue. Une règle ABR coudée en B glisse le long de la droite fixe DD' (fig. 71 ); un fil, dont la longueur

Fis. 71.

est RB, est fixé aux deux points R et F; un anneau P maintient le fil tendu; le point P décrit une hyperbole dont F est le foyer, DD' la directrice, et dont l'asymptote est parallèle à BB, puisqu'on a toujours