XX -H jiy = O, 3ffx ■+■ 7.fy c = o

L’équation de la parabole exprime ainsi que le carré de la distance d’un point de la courbe à la première de ces droites est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la deuxième droite. En prenant donc ces droites pour axes de coordonnées, l’équation de la courbe pourra se réduire à la forme y' = px, puisque les distances d’un point à deux axes sont proportionnelles aux coordonnées de ce point par rapport à ces axes.

La nouvelle origine est un point de la courbe, et comme à chaque valeur de x correspondent deux valeurs dey égales et de signes contraires, le nouvel axe des x est un diamètre dont les ordonnées sont parallèles au nouvel axe des y- Mais l’ordonnée menée à l’extrémité d’un diamètre est tangente à la courbe (H5); donc le nouvel axe des est la tangente

DE LA PARABOLE. 267

à l'origine. En se reportant à l’équation primitive, on voit ainsi que ax -h est le diamètre passant par l’origine, et que ag’j: -t- c est la -tangente au point où ce diamètre rencontre la courbe.

L’équation d’une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente menée par l’extrémité de ce diamètre, est donc de la forme = px.

20i. Les nouveaux axes auxquels nous avons été conduit dans le numéro précédent ne sont pas, en général, rectangulaires; mais il est toujours possible de ramener l’équation de la parabole à la forme = px et d’avoir en même temps des axes rectangulaires. Pour le démontrer, introduisons dans l’équation générale de cette courbe une constante arbitraire k; elle deviendra alors

{ax -h ky 2{g ~ ak)x -i- 2{f — ^k)y + c — = O.

De même qu’au numéro précédent

OCX H- -(- /i = O

représente un diamètre, et

2(g-— a/l )ar a(/— c — /i’ = O

la tangente à l’extrémité de ce diamètre. Si nous prenons ces droites pour axes, l’équation de la parabole deviendra y’ = px, et nous pourrons déterminer k par la condition que ces deux droites soient perpendiculaires. Nous aurons ainsi (25)

d’où

a{g—ock)-^P[f— ;3A) = o;

oc' -f-

Puisque nous ne trouvons qu’une seule équation du premier degré pour déterminer k, il n’existe qu’un seul diamètre formant avec ses ordonnées un angle droit. Ce diamètre s’appelle axe de la courbe.

205. On peut aussi ramener l’équation de la parabole à la forme y' = px par la transformation des coordonnées. Lorsqu’il s’est