CHAPITRE XII

agi (Chapitre XI] de réduire l'équation générale du deuxième degré nous avons déplacé les axes parallèlement à eux-mèmes, puis nous les avons fait tourner autour de la nouvelle origine de manière à faire disparaître le terme en *■/. Pour la parabole, nous effectuerons ces transformations dans l’ordre inverse (comme nous aurions, du reste, pu le faire pour l’ellipse et l’hyperbole); cette marche semble d’autant plus convenable que l’on ne peut pas, en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, faire disparaître à la fois le terme en x et le terme en J.

Prenons pour nouveaux axes la droite xx (3y, et sa perpendiculaire ^x — xj\ Puisque les nouvelles coordonnées X et Y représentent les distances d’un point de la parabole aux nouveaux axes, on aura (3i)

.. aar-f-Sv &x—xy

y/a’ -H ji’ v'a’ -+- fS‘

En faisant, pour abréger, a’ -(- p’ = y’, les formules de transformation deviennent

yY = ar + j3 r, yX = ;3x — ar;

d’où

yx = aY-t-[3X, y/ = (3Y — aX.

La substitution de ces valeurs dans l’équation de lu courbe donne

y’Y» — /a)X -I- 3(g-a -t-/|3)Y -i- yc = o.

Ainsi, en faisant tourner les axes autour de l’origine, nous avons réduit l’équation de la courbe à la forme

-t- -I- zf'y -t- c' = o.

Transportons maintenant les axes parallèlement à eux-mêmes et prenons le point (x', y') pour origine, elle devient

b'y' + i^x -t- a{ b' y'+f)y-y- b' y'' -f- ag'x' -+- a/'y' -+- c'= o.

Le coefficient de x n'ayant pas changé, on ne peut chercher à le rendre nul ; mais on peut déterminer x' et y*' de telle sorte que

DB LA PABABOLE. 269

le coefficient de y et le terme absolu s’annulent. On aura alors

L’équation est ainsi ramenée à la forme = px, et p a pour valeur

Lorsque la parabole est représentée par y’ = px, on donne à /> le nom de paramètre du diamètre pris pour axe de x; lorsque les axes sont rectangulaires, p est le paramètre principal { 19i).

EXERaCES.