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208. L’équalion^-’= px nous permet de trouver facilement la forme de la parabole. Celle courbe est symétrique par rapport à l’axe des v, puisqu’à chaque valeur de x correspondent
l'ie- ;a-
deux valeurs égales et de signes contraires pour y; elle n’a aucun point situé du côté des x négatifs, puisqu’on faisant x négatif, y devient imaginaire; les valeurs de y croissent en même temps que les \aleurs positives de x. Celte courbe a donc la forme indiquée par la Jif[. 7a.
La parabole ressemble à l’byperbole, en ce sens qu’elle a des branches infinies; mais il y a une grande différence entre la nature des branches infinies de ces deux courbes. Celles de l’hyperbole tendent, à la limite, à coïncider avec deux droites divergentes, tandis que celles de la parabole ne jouissent pas de celle propriété. Si nous cherchons les deux points où la droite
X = ky -H /
renconlre la parabole y'‘—ipx, nous obtenons l’équation du second degré
y'— pi, y — pi = O,
I)K LA PARABOLE. 2^3
dont les racines ne peuvent jamais devenir innnies tant que h et / restent finis.
Il n’y a donc aucune ligne, située à une distance finie, qui puisse rencontrer la parabole en deux points coïncidents et situés à l’infini. Le diamètre (^=w)(]ui rencontre la courbe à
l’infini (li2), la rencontre aussi en un point — jj dont
l’abscisse croît en même temps que m, mais ne peut devenir infinie tant que m reste fini.
209. Le tbéorème suivant conduit à une conception plus claire de la forme de la parabole. Si, dans une ellipse dfjinie par un sommet \ et le foyer correspondant F [fig. 73), on fait croître indéfiniment le grand axe, l'ellipse tend à se transformer en pandtole.
L’ellipse rapportée à son sommet a pour é(|uation ( 19'»)
Pour exprimer b en fonction de VF=;m [fg. 73) supposé
Ki|>. 73.
constant, nous avons
d’oii
/>'=: lani — m’.
L’équation de l’ellipse prend alors la forme
Lorsque a devient infini, elle se réduit a
et représente une parabole.
