II. Mêmes données, les axes faisant un angle de 6o degrés

Réponse. v'^, v"i5i .

III. Exprimer que la distance du point [■r,r] au point (a, 3) est égale à 4-

Réponse. (x — a)’-t- ( >• — 3)’ = i6.

IV. Exprimer que le point (x,/) est également distant des points {a, 3), (4. 5).

Répo.nse.

(x — a)’ -+-(.)■— 3)> = (x—4)>-f-(/ — 5)’ ou x-t-j=7.

V. Trouver le point qui est à égale distance des [>oints (a, 3), (4, 5), (6, i). On pose deux équations qui servent à déterminer les inconnues X et X-

Réponse.

la distance de ce point à chacun des trois autres est égale à

G. La distance de deux points, étant exprimée par une racine carrée, peut recevoir le double signe; de plus, si la distance PQ, mesurée dans le sens PQ, reçoit le signe +, la distance QP, mesurée dansle sens contraire QP, reçoit le signe Lorsqu'il s’agit simplement de la distance entre deux points, le signe n’est susceptible d’aucune interprétation, puisqu’il ne sert qu’à indiquer si cette distance doit s’ajouter à une autre distance, ou s’en retrancher; mais il n’en est pas de même lorsqu’il y a plusieurs distances à considérer. Si, par exemple, on se donne trois points en ligne droite P, Q, R, et les deux distances PQ, QR, on aura PR = PQ-t-QR; et, d’après ce qui a été dit plus haut, cette équation sera toujours vraie, que le point R soit ou non entre P et Q. Car s’il est en dehors de P et Q, PQ et QR se trouvent mesurées en sens contraire, et leur différence arithmétique est encore égale à leur somme algébrique.

Hors le cas où les droites sont parallèles à l’un des axes, on n’a établi aucune convention sur la direction qui doit être regardée comme positive.

CIIAPITBK PREMIER.

7. T miiver les coordonnées du point R qui parlat^e dans le rapport m\n la droite /oif^nunt les tleax points P et {).

Hic.

Menons les ordonnées QN, RS, PM {/i-r. 4) ; et soient x, y, x',r'; x",y", les coordonnées des points R, Pet Q; nous avons

ou

c’est-à-dire

d'où

/«:« PR:RQ :: MS;SN, m'.n'.'.x' — x\x — x" ,

inx — mx" — nx' — nx.

mx" nx'

Nous trouverions de même

niy" -t- ny '

Si la droite doit è\.rv:co\\\yéc. extérieurement (') dans un rapport donné, nous aurons

et, jiar suite,

^ mx‘ — nx' my" — ny'

m — n ’ ^ ~ m — ii

On voit (|ue les formules relatives au cas où la droite est coupée extérieurement se déduisent de celles qui sont relatives au cas où elle est coupée intérieurement en changeant

( * ISoii» avons cru devoir conM*r v<*r le» <‘X|nr»>»îoire : t/roite coupée intérieiirewfnt , extérieurement ; ieetton tnténeure^ CAtérieure^ on raison do leur cuiici- «ion.

le signe du rapporl, c’esl-ii-dire en remplaçant m : + ;i par nf. — n. De fait, dans le ras oii le point de partage est situé entre les deux points, l’R et RQ sont mesurées dans la même direction, et par suite leur rapport doit être considéré comme positif ( 11" 6); tandis que, le point de partage étant situé en dehors, PR et RQ se trouvent mesurées suivant des directions opposées, et leur rapport doit être considéré comme négatif.

EXERCICES

I. Trouver les coordonnées du milieu de la droite joignant (a-',/'), (x',/').