III. — Diamètres
213 Nous diMnonlreroiis ici de nouveau que, lorsqu’on prend pour axes un diamètre et la tangente à son extrémité, la ])aral)olc a pour équation y^=p'x, afin de trouver l’expression du paramétre /»' en fonction du paramètre principal />.
Si l’on transporte parallèlement à eux-mêmes, au point (x', »•') de la courbe, Ids axes rectangulaires auxquels correspond l'équation ,r’= px de la parabole, on obtient
-r- 2»-)-'= px.
(ionserAons le même axe des x, mais prenons un nouvel axe des r faisant un angle 0 avec lui, cette équation, en v remplaçant X et r resiiecii veinent par x -f- y cos 0, y sin 5 ( n" 9 ), devient
>'’sin’5 -4- 2 r'.rsin0 — px ■+- pycosO, et pour (|u’elle se réduise à la forme >■= = /> æ', il faut (|u’on ait
2 r' sin 0 = /4 cosO, ou tang0 = .^^,:
cet angle 0 est précisément celui que la tangente au point (x',y') fait avec l’axe des x, comme on peut le voir en se
DE LA PARABOLE
reporianl à son équation
L'équation de la parabole rapportée à un diamètre et .i la tangente à l’extrémité est alors
sin’5
La quantité p' est le paramètre correspondant au diamètre V'M', et, comme on a
sin’&
le paramètre correspondant à un diamètre est inversement proportionnel au carré du sinus de l’angle que les ordonnées de ce diamètre font avec l’axe.
On peut, en partant de l'équation tangO-— exprimer le
paramètre d’un diamètre en fonction des coordonnées de l’extrémité de ce diamètre, car on a
sin 5
par suite.
§ IV. — Foyer et directrice.
214. On appelle/o^‘cc de la parabole le point situé sur l’axe de la courbe à une distance du sommet égale au quart du paramètre principal. Nous avons déjà entrevu (209) l’analogie de ce point avec le foyer dans l’ellipse; d’ailleurs une parabole peut être considérée comme une ellipse ayant un de ses foyers à l’innni. Afin de ne pas avoir d’expressions fractionnaires
dans les numéros suivants, nous représenleroiis ^ p jiar m.
Distance d’un point [x',y') de la parabole au foyer.
Le carré de la distance du foyer {m,o) 'a un point (ar', y')
27^ CIUPITIB XII.
de la parabole a pour expression
{x' — m )’ y"‘= x'' — :>.mx’ nV ^mx' = (x^ + ni )’.
La distance de ce point au foyer est donc x' ni.
Nous pouvons ainsi exprimer plus simplement le résultat obtenu précédemment (213) : /c paramètre d’un diamètre est éjral à quatre fois la distance de son extrémité au foyer.
21o. De même que dans l’ellipse et l’Iiyperbole, on appelle directrice la polaire du foyer de la parabole.
Puisi)ue ni est la distance du foyer au sommet de la parabole, .sa polaire (211) est perpendiculaire à l’axe qu’elle rencontre en un point symétrique du foyer par rapport au sommet. La distance d’un point [x', r' ) de la courbe à la directrice est donc x'-^ni; par suite (2li) les points de la parabole sont à é£;nle distance du foyer et de la directrice.
Dans l’ellipse et l’hyperbole ( 18G), les distances d’un point au foyer et à la directrice sont dans le rapport constant de e à I . Il en est de même pour la parabole; mais alor^e = i (20!>).
Le procédé indiqué (202) pour décrire l’hyperbole d’un mouvement continu peut s’appliquer .à la parabole; il suflit de prendre l’angle .\BU égal à <)o degrés.
21(i. Le point de contact (.r', 7’’) d'une tangente et le point oii elle rencontre l’axe sont l'i égale distance du foyer.
(]ar la distance du sommet au point où la tangente rencontre l’axe est égale à x' (210), et, par suite, la distance de ce point au foyer est x' -+■ ni.
217. La tangente fait îles angles égaux acec l’axe et avec le rayon vecteur mené du foyer au point de contact.
Cela résulte de ce que la tangente, l’axe et le rayon vecteur forment un triangle isoscèle, ainsi que nous l’avons démontré au numéro précédent.
On peut aussi regarder ce théorème comme une sini|>le extension de la propriété de l’ellipse (188) relative à l’égalité
DE LA PARABOLE
des angles TPF, T'PF' {Jig. 73, p.-273); car, si l’un des foyers F' s’éloigne à l’infini, la droite PF' devient parallèle à l’axe, et les angles PTF et TPF sont égaux.
La tangente menée à l'extrémité de l’ordonnée passant par le foyer fait avec l’axe un angle de 45 degrés.
218. Trouver la dislance du foyer à une tangente. La distance du point (ni, o) à la tangente y y' = 2 m(x -h x' )
a pour valeur
?.ni(i-'-l- ni) 2/n(x'-h ni)
^ni{x' ■+- m).
Donc if g. 75, p. 275) FU (distance du foyer F à la tangente TP) est une moyenne proportionnelle à FV' et FP.
Il résulte aussi de cette expression et du n" 212 que FK est la moitié de la normale, comme on aurait pu le voir géoméii iquement, en partant de l’égalité TF — FN.
219. Exprimer la distance du foyer à une tangente en fonction de l’angle a que la direction de celte distance fait avec Taxe.
Nous avons ifig. 75, p. 276)
cos a = si n FTU i / — (213).
V ar' -t- ni '
Donc (218)
FR = V/îifx' +^) -- •
' cosa
En prenant le foyer pour origine, l'équation de la tangente devient
. ni
X cos a -I- r sm a -1 ^ O,
cosa
et permet d’exprimer la longueur de la perpendiculaire abaissée d’un autre point sur les tangentes en fonction de l’angle que celte perpendiculaire fait avec l’axe.
