CHAPITRE XII
220. Le lieu des projections du foyer sur les tangentes est une droite.
C;tr en prcn.inl le foyer pour pôle, on a immcdiatemenl pour rci|uatioii du lieu
ni
û= » pcosa = m,
^ cos a
qui représcnle la langenie au sommet.
Iléciproquemenl, si par un point F(/ig.’;5, \}.2~5), on mène un rayon vecteur FR à une droite VR, et une perpendiculaire RP au rayon vecteur, la ligne RP sera constamment tangente à la parabole ayant F pour foyer et N' pour sommet.
On pourrait arriver à l'équation du lieu ci-dessus, en employant des coordonnées rectangulaires.
Nous verrons plus loin comment on peut résoinire d'une manière générale les questions de ce genre, questions dans lesquelles on omet une des conditions nécessaires pour déterminer une ligne, et où l'on demande de trouver son e/n>eloppe, c’est-à-dire la courbe à laquelle cette ligne est constamment tangente.
221. Trouver le lieu de l’intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.
L’équation d'une tangente étant (219)
X cos’a sina COS2 -I- m = o,
celle de la tangente qui lui est perpendiculaire s'en déduira en y remplaçant a par ijo° H- a, on a ainsi
X sin’a -I- y sina cosa -+- m = o.
En ajoutant ces deux équations, l’angle a disparaît, et on trouve pour l’équation du lieu
or -4- 2 «1 = o.
C’est celle de la directrice, puis(|ue la distance du foyer à cette droite est égale à 2m.
DE LA PARABOLE
222. L’angle compris entre deux tangentes est ta moitié de l’ongle sous lequel est vue du foyer leur corde de contact.
De ce que le triangle PFT (fig. ^5, p. a^S) est isoscèle, l'angle PTF que la tangente fait avec l’axe des x est la ntoilic de celui PFN que le rayon vecteur allant du foyer au point de contact fait avec ce même axe. D’ailleurs l’angle compris entre les deux tangentes est égal à la différence des angles que ces tangentes font avec l’axe des x\ et l’angle sous lequel est vue la corde de contact est égal à la différence des angles que font avec l’axe les rayons vecteurs menés du foyer aux points de contact.
Le théorème du n° 221 peut être considéré comme un corollaire du précédent. Car si deux tangentes se coupent à angle droit, la corde de contact sera vue du foyer sous un angle de i8o degrés; d’après la dérmition même de la directrice, les deux tangentes devront alors se couper sur la directrice.
223. La droite FT qui joint le foyer V au point d’intersection T de deux tangentes est la bissectrice de l’angle PF P' sous lequel on voit du foyer leur corde de contact PP'.
Les équations des deux tangentes sont (219)
X cos’ a -t- ^'siii a cosa + m = o,
X cos’j3 ■+■ /sin^ cos3 m — o;
et en les retranchant l’une de l’autre, on trouve, pour l’équation de la droite FTqui joint le foyer (c’est-à-dire l’origine) à leur point d’intersection,
xsin(a -H ^) — /COs(a -t- |3) = o.
Cette droite fait avec l’axe des x un angle a h- (3; mais puisque a et P sont les angles que forment avec l’axe les perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes, nous aurons ( V' étant le sommet) VFP = aa, VF P' = ap. Donc la droite qui fait avec l’axe un angle a -(- p est la bissectrice de l’angle PF P'.
Ce théorème peut aussi se démontrer en calculant, comme
