THÉORÈMES ET PHOBLÈSIES SUR LES SECTIONS CÜNI(>UES

équation

— = £• cosO ■+- cos (0 — X ).

'Àû

Otte relation est due à V. Davies (').

Vlll. Si, dans une euni(|ue ayant K [lour foyer, on mène une corde IM*' par un point fixe O, le produit

lan.ïll’KO.tanttiP'FO

est constant.

Nous pourrions déduire cette propriété de l'équation de l’Ex. VI ( "), mais nous préférerons en indiquer ici une démonstration ^éométrii|ue donnée par .M. Mac Cullagh, à qui, si nous ne nous truni|x>ns, est dé le théorème. Supposons que le i>oint Ü soit pris sur l’P' 7((), et soit <■' le rapport de FO à la distance du point ü à la directrice. Puisque les distances de P et de O à la directrice sont proportionnelles à PI) et OÜ,

F P . FO c PU OU ' f' ’ on

sin PUF . sinODF r sinPFÛ ■ sinUFl) ~ c’’

par suite ( l‘J2)

cosOFT e cosPFT ~ e '

et comme ( l!)l ) PFT et UFT sont respectivement la demi-somme et la demi-ditférence de ^VO et (^'O, il vient

tangi-PFU.tang; P'FO --

et ce produit reste encore constant lorsipie le point O, au lieu d'étre lixe, se déplace en restant sur une coniipie avant même foyer et même directrice que la conique donnée.

c IX. Exprimer la condition pour que la corde qui joint deux [loints (jt', j'), (x”, )■’) de la courbe passe par un foyer.

Parmi les différentes expressions équivalentes servant à formuler cette condition, les plus usitées sont celles qu’on obtient en exjirimant ipie

(") Phitosophical Ma^azinrt iHj-*, p. iipi; — \V altos, E.remptei, p. 3(»8.

{"■) \V ALTOS, E^rmplrf, p. 377.