CHAPITRE VIII

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V - O'-r iHo", 0' et V étant les angles que font avec l’axe les droites qui joignent les jKiints (jr',r')i au foyer. Les relations sinO' = — siiiO’,

eos5'= — cosO" donnent ainsi res|)ectivement

n — rj: n — cjc

, = O. tex'x’ — (rt -T- cr) (x'-l- j*) uiit = o.

X. Si par les extrémités d'une corde focale (c'est-à-dire qui passe par le foyer) on mène des normales à la conique, la parallèle au grand axe menée par l’intersection de ces normales divise la corde en deux parties égales (*).

Puisque chaque normale est la bissectrice de l’angle formé par 1rs rayons vecteurs issus du foyer, l’intersection de ces normales est le rentre du cercle inscrit dans le triangle ayant pour côtés la corde focale et les droites t]ui joignent les extrémités de celte corde à l’autre foyer. Si II, b etc sont les longueurs des côtés d'un triangle ayant pour sommets (x', v'j, (x”,j"), (x", r'”), les coordonnéi'S x et du centre du cercle inscrit dans ce triangle seront (n'T, Ex. VI)

n.r' -h c.r" rt v'-*- br’+ rr”

Dans le cas actuel, les coordonnées des sommets étant x', y', x", — r, O , les longueurs des côtés opposi's sont

on a donc

n -T- ex , « -t- c.r , -ifi — ex — ex ;

(rt H- e.r') v'-i- (rt -t- ex’i i '

•^= ^Tcr

expression qui, en tenant compte do la première équation de l'Exercice préi'édenl, se réduit à

c equi démontre le théorème.

On trouverait de même

(rt -ê- e.r') x'-e (rt -1- ex') x*— (art — e.r' — ex* je

(•) Celte ilémoiistnitioii est due à M. Larroso {Nouveites Jnnntfi dr Tr.ugn*. XtX, ai).

TIIÉÜRÈMKS ET PROBI.i!liES SUR LES SECTIONS CONlyUES.

valeur (lui se rMuil à

(rt -e rr) (.r'-t- x“) — tnr •in

eu égard à la deuxième é(|uation de l'Exereice précédent.

On trouverait des expressions analogues pour les coordonnées de l'intersection des tangentes menées par les exlrérnilés de la corde focale, puisque cette intersection est le centre d'un cercle exinscrit au triangle considéré plus haut : la droite qui joint rinterseclion des normales à celle des tangentes, étant la bissectrice de l'angle du triangle opposé à la corde focale, passe par l’autre foyer.

XI. Trouver le lieu des intersections (a-, v) des normales menées aux extrémités d’une corde focale.

Soient a et ^ les coordonnées du milieu de cette corde; on aura, d’apres l'Exercice précédent :

rt* -t- r’

On |(ourra donc facilement déduire le lieu du point (.r. » ) de celui de (a, dont l'érpiation polaire

r eosO I — e‘ cos' 0

devient, en prenant des coordonnées rectangulaires ayant leur origine au centre.

l'équation du Keu cherché est donc

fi‘b^ (a- 4- <•)’ s- («’-♦- r’)’ = b‘c («’-<- c’) (j- 4- r).

XII. Si 0 est l'angle compris entre les tangentes ET, Er menées à une

Fig. 8o.

ellipse par un point E ijtg 8o), et o, p' les distances de ce point aux