OR ÜR' OS OS
(M. M. Roberts.)
En se roiiortant à l’équation du second degré qui détermine (13(i) les rayons vecteurs menés par un point à iint! courlx' du second degré, on reconnaît que la dilférencc des réciproipies dos racines est la même pour les deux directions 0 qui correspondent à une même valeur de l'expression
( ne — g’)cos’0 -i- 1 {c/l — "/') cosO sinO -+- (f»c — y"’) gin’ 0.
Cette quantité qu'on [>c*ut écrire
A cos’O -h ail cosO sinO — R sin’9
no change |>as si l’on prend (lour 0 l'une ou l’autre des valeurs correspondant aux directions des droites également inclinées sur les deux droites représentées par
Au’ -+- 2ll2-t B r’ = O.
Ces deux droites sont !(« tangentes mené<;s à la courbe par le point O, et on sait qu’elles sont également inclinées sur les droites joignant le point O au foyer, ou tangentes à une conique homofocalo (18!l).
227. Les problèmes suivants sont relatifs à la parabole; il est facile de distinguer ceux ejui, dans le numéro précédent, peuvent aussi se rapporter à cette courbe.
THÉORÈMES ET l'RORLÈMES SIB LES SECTIONS CONIQUES. agS
EXERCICES
I. Trouver les coordonnées x et .r de l’intersection des deux tangentes mcnéi's par (x', r'), ( x*, x") “ parabole r’ = />j-,
II. Trouver le lieu de l’inter.section de la |)erpendirulaire abaissée du foyer sur une tangente avec le rayon vecteur mené du sommet au point de contact.
III. Les trois hauteurs du triangle formé par trois tangenlesse coupent sur la directrice (*).
L’éqnation d’une de ces hauteurs est (32)
ou, en divisant par
La symétrie de cette équation montre que les trois hauteurs coupent la directrice à une distance de l’axe des x ;
ir'r’r" r”-t- r"’
IV. L’aire du triangle formé par trois tangentes est la moitié de celle du triangle qui a pour sommets les [lointsde contact (**).
En substituant les coordonnées des sommets de ces deux triangles dans l’expression du n” 36, on trouve, pour l’aire du deuxième triangle,
et la moitié seulement de celte quantité pour l'aire du premier.
V. Trouver la valeur du rayon du cercle circonscrit à un triangle inscrit dans une parabole.
(*) Steiseb, Annales de Oer^onne^ t. XIX, p- jg ; — \V.ietOX, p. llg.
(•■ ) CltEüURl, Cambridge Joarnat^ t. II, jt. l(i ; — XV.^LTOS, p. 1 37. Voir iiusüi : Jurons d' Algibre supérieure^ tradiirlioli française, p. 18, Ex. Xlt.
CHAPITBE VIII.
Le rayon R du cercle circonscrit au triangle ayunl r/, c^f pour côtés tlcf
et ï (>our aire, a pour valeur d'ailleurs si d est la longueur de la
corde qui joint les |>oiiits (j^, (.r”, r”). el 0' l’angle que relie corde
fait avec l'axe, on a évidemment rf sinü' = r' — r”. En parUint di‘s valeurs obtenues à l'Exercice précédent, on trouve
a smO'binO'siné”
(In peut exprimer aussi ce rayon en fonction des cordes focales c', r", v" parallèles aux côtés du triangle, car la longueur de la corde focale c.
faisant un angle 0 avec l'axe est égale à (193, Ex. II). On a
sin’O
ainsi
Il résulte du n" 215 que r', r", c" sont les paramètres des diamètres corres|K)ndant aux cordes qui forment le triangle.
VI. Trouver la valeur du rayon R du cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à une parabole, en fonction des angles Ô', é", O"” (lue ces tangentes font avec l'axe.
Réi>üvse.
On a aussi
8 sinO' sin é“ sinO"
//, //, /.'"étant les paramètres des diamètres qui passent par les points do contact (212).
VII. Trouver l’angle ^ conq.ri.s entre les deux tangentes menées par le point (x', »•') à la parabole y’= l\mx.
E'é(|uation des tangentes menées par (x', . ') est (92)
el celle des parallèles mem'cs à ces tangentes par l'origine
I-’angle ^ compris entre c(‘s deux droites est défini par (7i)
long-/
théorèmes et HROBLEXES sir les sections coniques. '-H)5
VIII. Trouver le lieu du sommet des angles y dont les cdtés sont Uingenlsà la parabole.
Réponse. C'est l’iiyperbole v’— 4 — (.t -t- ;;/)Mang’-,<. En mettant son équation sous la forme — n/)’ = (x -i- /«)’ séc’y, on voit
que riiyperbole (I8C) a même foyer et môme directrice que la paraboU', et que son excentricité est égale à sécy.
IX. Trouver je lieu des projections des foyers sur la normale.
La distance du foyer (;«, o) à la normale
a pour valt'ur
»■' fx'-f- >n)
V^x'(x -t- III ).
Si 5 est l'angle que la direction de cette distance fait avec l'axe (213), on a
sin 0 =
cosO . :
l’équation polaire du lieu est donc
ce qui revient à r’ = /nx.
III cosO sin’O
X. Trouver les coofltlonnées .r et i de l'intersection des normales rni^néesaux points (x', r'), (x’, r") de la courbe.
RÉP. X = a/H H- '
Si a et ^ sont les coordonnées de l’intersection des tangentes correspondantes (Ex. I), on a aussi
Ht m
XI. Trouver les [loints de la courlie dont les normales passent par un point donné (.r', y').
En éliminant x entre l'équation de la normale et celle de la courbe, on trouve, [lour déterminer les ordonnées de ces points,
■iy (/.<’— 2i>x')y = p'y'-
Les trois racines de cette équation sont liées par la relation
