III
XIV. Trouver le paramètre d'une parébole connaissant les longueurs « et il de deux tangentes, et l'angle w qu'elles font entre elles.
Menons le diamètre correspondant à la corde de contact; le para-
mètre //’ de ce diamètre est //'= et le paramétre principal est
r’ sin’O ts’i ’
O étant la distance de l’intersection des tangentes à la corde de contact. •Mais
acij' = h/; sinw et i6x’ .-= n’-t- A’-?- 2 h// cosw,
ilonc
.<//’//’ sin’f.i
(n’-t- é’-t- a//// cosoi)’
( 7wir n“ 207).
XV. Démontrer, en partant de ré<|ualion du cercle circon.scrit au tri angle formé par trois tangentes, que ce cercle pas.se |>ar U- foyer, la; cercle circonscrit à Un triangle a pour équation ( 124)
fi'/ sin A -e 7a sin B rp sin C o.
et le terme absolu, (pi on trouve en remplaç.int a, p,... par leurs va'
TllfiORÈMBS ET PHORI.ÈMES Sl'H I.ES SECTIONS CONIQI'ES. 2C)7
leurs développées xcosa -t- v sina — est
///j'sin — 7) /'"/JSin(7 — a) -1- />p'»u\{x — p).
Mais si a représente une tangente à une parabole ayant le fover pour origine, on a (219) n — le terme absolu devient alors
® '‘Il
Ô)sa(^fic0S7 [s'n(P-v)cos'-‘-<-sin(7-ac)cosf! -e sin(*-|5) COS7J.
et il est identiquement nul.
XVI. Trouver le lieu do l’intersection des tangentes menées à la parabole, étant donnés ; 1° le produit des sinus ; 2° le produit des tangentes ; 3° la somme , ou 4“ b* différence des cotangentes dw angles que ces tangentes font avec l’axe.
Réponse. i° un cercle; 2° une droite; 3° une droite; 4° une parabole.
228. Indiquons encore quelques problèmes pour terminer ce paragraphe.
EXERCICES
1. L’hyperbole équilatére circonscrite à un triangle passe par rintcr- .section des hauteurs de ce triangle (*).
Prenons pour axes un côté du triangle et la hauteur correspondante. On sait que l’éiiuation de la conique passant par quatre points (Ifil, Ex. I)
pp'x’-e 2//xr ■+■ 'ù'y'— -1- /') X — >.V.' (fl ■+- fi')j- 7/.'u u'= o
représente une hyperbole équilatére ( les axes étant rectangulaires) lorsque >X'= — fi!*' (174). Dans le cas actuel, trois points X, '/.'et fi étant donnés, cette condition permet de déterminer le quatrième u ; l’hy-
perbole rencontre donc la hauteur au point fixe r = 1 qui est l’in-
tersection des trois hauteurs du triangle (n° 32, Ex. VII).
(■) Riu\7<citOM et Poncdlet; — Oeruonne, j4nnalest t. Xï, oo5; — ^V.\LTOpl, p. a83.
apS CHAPITRE VIII.
II. Quel est le lieu des centres des hy jHjrboles équilalères passant jiar trois points donnés.
Réponse. Le cercle passant piir les milieux des côtés du triangle que l'orinent les trois points {vnir n” l.'il. Ex. III).
III. Trouver la condition pour que, par rapport à une conique donnée [Kir l'éiiualion j^énérale, le pôle de Taxe dc’S .r soit sur Taxe des , et vin: versii.
RkPON'E. /«• — /g.
IV. Trouver la condition pour que, dans une conique définie par l’équation générale ( 133), Tune des asymptotes passe par l’origine.
Réponse. r//’ — ifg/i -4- = o.
V. I.e cercle circonscrit au triangle aulopolaire par rapport à une hyperbole équilaléro (39) passe par le centre de l’hyperbole (').
La condition trouvée dans l’Exercice précédent étant remplie, l’équation du cercle passiuit par l’origine et par le [kMp de chaque axe sera
/i (x’-4- ï jfcosw -t- -h gy = o,
ou
X [hx -t- h y -+-/ ) -t-y(nx -i- // v -(- ^) — (« -t- h — -xh cosw) xr = o,
équation à laquelle satisferont évidemment les coordonnées du centre pourvu que l’on ait
Il -h l> =: ’l/l COSw,
c’est-à-dire pourvu que la courbe directrice soit une hyiiorbole équilatèro (71, 171).
Ce théorème n’est qu’un cas particulier du suivant, que nous démontrerons plus loin.
Lorsque deux triangles sont autopolaires par rapport à une conique, leurs six sommets sont situés sur une mémo conique (37.S, Ex. I).
VI. Le cercle passant par le centre d’une hyperbole équilatére et par deux points quelconques passe aussi par l’intersection des parallèles menées par chacun de ces points à la polaire de l’autre.
VIL Trouver le lieu des intersections des tangentes interceptant sur une droite fixe un segment de longueur constante.^
Prenons cotte droite pour axe des x. Les racines de l’équation du .se-
(*) Bri.wi iion et Piiscr,i.F,T ; — Oeri.osse. Ànnulrs, 1. XI, p. ïio; — Waitos, p. 3o4-
THÉORÈMES ET rROBLÈHES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 399
cond degré, obtenue en faisant j'= o dans l'équation des tangentes menées iwr (x', /■') à une conique quelconque (92), repn’sentent les segments (comptés à partir de l'origine) que déterminent ces tangentes sur l’a.\e des x. En exprimant que la dillérence de ces racines est con.«lante, on trouve l'équation du lieu, qui est en général du quatrième degré.
Dans le cas où la droite fixe est tangente à la conique, on a ^’ = ne, l'équation du lieu devient divisible par r’, et se réduit au deuxième degré.
On trouverait de même le lieu des intersections des tangentes qui déterminent sur une droite fixe et à partir d’un point donné, dos segments dont la somme, le produit,..., est constant.
VIII. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère.
Prenons des axes quelconques, et soit
•r cosa -I- 1 sin X — /J = O
l'équation d’un des côtés du quadrilatère. Désignons par .r et )' les coordonnées du centre d'une des coniques, et par 6 l'angle que forme son grand axe avec l'axe des x. L’angle compris entre ce grand axe et la perpendiculaire au côté du quadrilatère est * — 6, et l'on a , d’après le n” 178,
(x cosa -r sina — pY — cos’(a — fj) -i- sin’(a — 0),
ou, en développant et remplaçant, pour abréger (33), x cosa -t-i'sina — p par a,
3}= («’ cos’Ô -+- // sin’O) cos’ a a(n’ — P) cosO sin5 cosa sina
-f- (rt’ sin’O -f- ô’ cos’ô) sin’a.
On obtient ainsi quatre éi|uations, entre le.squclles on peut éliminer 6 ou plutôt les trois quantités «’ cos’ô -f- ô’ sin’ô, («’— ô’)cos5sin0 et «’sin’ô -r ô’cos’O. Ia> lieu est donc donné par l’i'quation
ros’a
COS3C sin X
sin’a
cos’^
sin’6
cos’ 7
COS7 sin y
.sin’v
cos’ J
co^'î sino
sin’'?
c'est-à-dire par
.Va’-HB^’-t-C'/’-r Do'’= o,
A, B, C et D étant des constantes. Celte érpiation, du deuxième degré en apparence, est en réalité du premier. En etfet, si, avant de développer
3oo
