CHAPITRE VIII
le dolerminanl, on y remplace les expressions x. p, •/, S par leurs équivalentes en jr cl r. on voit que les termes on x’, qui appartiennent aux éléments de la première colonne, ont respeclivement cos’a, cos’p, cos’y, cos’5, c’est-à-dire les éléments d'une autre colonne, iwur coeflicienis; et que, i>ar suite, le lcrme en x’ disparait dans le développement. Il en est do même des termes en r’ et en xr. Le lieu cherché est donc une ligne droite, et on peut la construire géométriquement, en observant que la polaire d’un |)oinl par rapport à une des coniques a pour équafion
\xx' -h Bpp'-e C77' -i~ DÔ5' = O,
et que, par suite, la ixilaire de (a, p) passe par (7, J). D'ailleurs, quand une conique se réduit à une droite par l'évanouissement des termes du deuxième degré de son équation, la polaire d'un point est parallèle à cette droite, qui divise alors en deux parties égales la distance du point à sa i>olaire. Le lieu cherché partage donc en deux parties égales les droites menées par les points (a, p) et (7, à), (a, 7) et (7, J), (“, ’î) et ( p, 7 ), c’est-à-dire les diagonales du quadrilatère xp-/S.
Réciproquement , si l’on se donne , sous une forme quelconque , les érjuations a = o,... de quatre droites, l’équation do la droite qui passe par les milieux des diagonales du quadrilatère qu’elles forment peut s’obtenir en déterminant les constantes de la relation
A*’-Bp’-f-r.7’-^DÔ-=ro,
de telle sorte que cette équation représente une ligne droite.
I-a solution que nous venons de donner a été indiquée par M. Serret (*).
IX. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un triangle, et dont les axes « et l> vérifient la relation a’ -t- è’ = 4’.
Cette relation peut se mettre sous la forme
P = («' cos’é -f- i’ sin’O) -I- (n’ siirO P cos’O),
et comme la première condition du problème fournit trois ihpiations analogues à celles de l'Exercice précédent, on aura, pour le lieu cherché, l’équation
' x' cos’a cosasina sin’a
^ V cos’ P cospsinp sin’p
1 Ÿ cos’ 7 cos 7 si 07 sin’7
(") yoHvrUet Annales de Matkèmatiijiie$^ a*’ série, t. IV, p. i^S-
TUÊnRÈMES ET PBOBLiîJlES SI B LES SECTIONS CONIQI ES. 3o I qui, pouvant se racUre sous la forme
Aa=-(~ B^’-(-C7’h-D = o,
représente un cercle. t)n [leut voir en elfel, en suivant la marche indiqui-e ci-dessus, que, dans le développement, le terme en xy disparait et que les termes en x' et ,r’ ont mémo coelTicient. Mais quand un cercle a pour équation Aa’-n C7*= o, son centre est le point do concours
des hauteurs du triangle 0(57; le lieu cherché, dont l'équation ne diffère de la précédente que par une constante, est donc (SI) un cercle ayant pour centre le point do concours des hauteurs du triangle circonscrit aux coniques.
X. Trouver le lieu des foyers des coniques circonscrites à un quadrilatère. J
lai distance 0 d'un des sommets (jt', e') du quadrilatère au foyer a pour evpressiou (I8ti)
P = Aa:' -s B v' -i- C.
En éliminant A, B et C entre cette équation et les trois autres fournies par les autres sommets, on a
ou en développant
Si l’on se reporte au n” 3(1 pour trouver la signification géométrique des coellicients /, »i, n et p, on voit que cette équation n’est que rexpre.-isiou du théorème de .Mobius
OA.BCD -s OC.ABD = OB..\CD e 01). ABC.,
dans laquelle 0 est le foyer, et BCD faire du triangle forfné par les trois points B.C.D. (Comparer cette expression à la condition énoncée au n° 9i.)
On voit ainsi que / -1- /« -r n-^-p — o. En substituant à 0, p', ... leurs valeurs v^(.c — x’)’ -(- — et faisant disparaître les ra-
dicaux, on trouve l’équation du lieu, qui est du sixième degré.
Lorsque les sommets du quadrilatère sont sur un cercle, le lieu se décompose en deux autres, qui sont respectivement du troisième degré, ainsi que font fait voir MM. Sylvester et Burnside.
On a en effet, d’après le théorème do Feuerbach (91),
/p’ -I- mp” -t- wp” -e pu'^ =. o;
CgAPITRE VIII.
3oi Cl, par suite,
(/ -f- ut) (/o^ /Uù'’) = (// /t) (//&*'
[ta -r- ttto'Y z=. [tio’-h /ta”)’,
d’où
//;; (f — *')’ = "P ip’ •+■
équation qui se décomjiose évidemment en deux fadeurs.
§ II. — ‘De l’.VMOLE EXCENTRIQIE ( * ).
229. L’emploi d'une seuli- variable au lieu de deux coordonnées .r' et >■', pour définir la portion d’un point sur une courbe est toujours avantageux lorsqu’il est possible; aussi, dans la discussion de certaines propriétés de l’ellipse, substituerons-nous aux coordonnées courantes x' el r' les expressions
jr'=«coS9, ^' = /;sin9
analogues à celles que nous avons employées dans le cas du cercle (102). Ces subsiiiuiions sont évidemment compatibles avec l’équation
La signification géométrique de l’angle o peut se déduire <le la construction suivante :
Sur le grand axe d’une ellipse 8i) pris comme dia-
Fiü. 8i.
mètre, décrivons un cercle; prolongeons l’ordonnée PL d’un
(*) I/cinplol (le CRl ttnjîlo a ôte aussi imlitiiic p.ir M, O’hrion {(’nnihrû/^c Mathfmaticai Journal^ t. IV, p. ()|)).
THÉORÈMES BT PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 3o3
point P (x', r') de l’ellipse jusqu’à sa rencontre Q avec ce cercle , et joignons le centre C au point 0; l’angle QCL sera égal à 9. En effet, CL - CQ cosQCL ou x’ := a cos 9 ; d’ailleurs
PL = ^ QL { 163), QL = a siii9 , d’où y' - /> sin 9.
230. Si l'on mène par le point P une parallèle PN au rayon CQ, on a
PM;C0:: PL;QL:; b: a.
et comme CQ = «, on a PM = 6; d'ailleurs PiN =a, ce qui donne le théorème suivant.
Le {'rand axe d'une ellipse détermine sur une droite NP de longueur a, joignant un point P de l’ellipse à un point N du petit axe, un segment PM dont la longueur est égale à b.
En prolongeant l’ordonnée PQjustju’en Q' où elle rencontre le cercle une deuxième fois, on démontrerait de même que la parallèle PN' menée au rayon CQ' par le point P est divisée en ce point en deux segments de longueur constante a et b. Donc si les extrémités M et N d’une droite MN de longueur constante glissent sur les côtés d’un angle droit, un point quelconque P de celte droite décrit une ellipse ayant pour axes MP cl NP. ( L'oir n" '»9, Ex. Xll.)
On a construit sur ce principe un compas elliptique qui permet de décrire une ellipse d'un mouvement continu. Cet instrument se compose de deux règles fixes CA et Cl) à angle droit, cl d’une règle mobile MN, de longueur constante et dont les extrémités peuvent glisser le long des règles fixes ; un crayon fixé en un point de la règle mobile décrit une ellipse. Lorsque ce crayon se trouve au milieu de MN. la courbe est un cercle. (O’Brien, Coordinate Geomelry, p. 112.)
231. L’emploi de l’angle 9 fournil un moyen très-simple de construire géométriquement le diamètre conjugué d’un diamètre donné.
Si l’on observe qu’on a en général
tang0 = ^ = -tang9.
la relalion (170)
devient
c’est-à-dire
