CHAPITRE XIII
OH siiiiploiiiciit
sin 9 ^ sinç', 9=;9' (M. TcrneiO.
>15 III. — De i.a simii.itciie dans i.es sections comoces.
Doux figures sont sembUihles et xeniblahlenienl placées^ ou /loiiiolliéliqties lorsque les r.ijoiis verleiirs OP.
Kic. «â.
Oy, niellés ilaiis hi pieinière par un poinl O, soin dans un rapport constant avec les rayons vecteurs parallèles op, u(j menés dans la seconde par un point o. (Jiiand il existe deux points ü et o jouissant de cette propriété, il y <‘ii a une infinité d'autres. En effet, priMioiis dans la première figure un point quelconque C, et joignons OC; dans la seconde ligure, menons oc parallèle à OC, de telle sorte que le rajiport oc : (K; soit égal au rapport constant o/i ; OP; les triangles PO(^, poc sont semblables; par suite, cp est parallèle à CP, et le rapport de cp à CP est égal au rajiport coiisiant oy;:OP. On prouverait de nièine qu’un autre rayon vecteur quelconque mené jiar c est proportionnel au rayon vecteur jiarallèle mené jiarl^
Lorsque deux sections coniques A centre sont homothétiques, tous les diamètres de l’une sont |)i-o|)oriionnels aux diamètres de l’autre, jiuisque les rectangles OP.OQ, et op.oq sont jiroportioimels aux carrés des diamètres jiarallèles (lifi).
23V. Trouver la condition pour que deux coniques données par des équations générales soient homothétiques.
Prenons, jiar une transformation de coordonnées, le centre de la jiremière comme origine; le carré du demi-diamètre fai-
TllfiUHfcHES ET l'HOBLËMES SUK LES SECTIONS COMIQUES. 3ll
sani avec l’.ixe des x un angle &, dans celle conique, esl égal à une conslanle divisée pur
(i cos’G -t- 2/1 cosG sinO -f- h sin=G;
de même le carré du demi-diamèire qui lui esl parallèle dans la seconde esl égal au i|uoiieni d'une aulre conslanle par
a cos’G -I- ih' cosG sinO 4- // sin’O.
I.e rappoiT de ces deux carrés ne peui être conslani qu’à la condiiion d’èlre indépendanl de 0, c'esi-à-dire lorsque l'oii a
Donc deux eotiiques sont homothétiques lorsque les eoefficients des termes du second de^ré de leurs équations sont éffiux ou proportionnels.
2:Jo. Les axes de deux coniques lioinolhéliques sonl parallèles, puisque le plus grand et le (ilus pelil diainèlre de l’une doiveni èlre respeciiveuiem parallèles au plus grand el au plus pelil diainèlre de l’aulre.
Si l’un des diamèlres de l’une de ces coniques devieiil infini, il en esl de même du diainèlre parallèle de l’aulre; ainsi les asymptotes de deux hyperboles homothétiques sont parallèles. (à;ci résulte aussi du ihéorème déinoniré au nuuiéro précédent, puisque {>5'»-) les directions des asympiotes sonl déieriiiinées par l’ensemble des lermes du second degré de l’équalioii de la courbe.
Les coniques seniblabb's oui nièine excenlricilé, puis(|u’on a évidcmnieni
a' — G’ /«’«' — nx^lé ^
par suite, on peut considérer les coniques semblables ei seinblablcnienl placées, ou bomolhétiques, comme des coniques ayanl leurs axes parallèles cl même excenlricilé.
Deux hyperboles ayanl leurs asymploles parallèles sonl boiiiolliéliques. Enefl'el, leurs axes, éiani les bissecirices des
ciiArn'HK Mil.
■■il 2
angles formes par les asymptotes (ISiS), sont parallèles; de plus, elles ont même exeentrieité, puisque l’exceiilririté ne dépend ijiie de l'angle compris entre les asymptotes.
2;Jü. Toutes les paraboles ayant même excentricité {e — i) .sont humotliétiqties lorsque leurs axes sont parallèles. Un reste, l’équation d'une parabole rapportée à son sommet étant r’— px, ou
P cos 0
^ sin’O ’
il est évident (|ue le rayon vecteur f>' mené à une autre parabole par son sommet, et iiarallèlement à o, est avec celui-ci dans le rapport constant de p' à j>.
KM'nCICES.
1. Sur un rayon vwleur OP mené à une conique par un point fixe O, on prend une longueur 0() (iroportionnelle à OP; trouver le lieu du point (.).
Il sullil de remplacer y par /«f dans l'ét^uation de la conique, [wur obtenir celle du lieu, qui est une conique liomotliétique à la première.
I. (‘ point O s'appelle li‘ erntn- de .siiiiilitiidr des deux coniques : c'est éxidemment (voir au.ssi n° llo) le point d'intersection des tangentes communes aux deux coniques, puisque les deux rayons vecteurs itdiniment voisins OP, OP' menés à la première devenant égaux, il dwl en êtrede même des deux rayons vecteurs correspondants OQ, Oty' menés à la seconde.
II. Si, i>ar le centre de similitude de deux coniques homothétiques, on mène deux rayons vecteurs, les cordes qui joignent leurs extrémiti-s sont parallèles ou se rencontrent sur la corde d'intersection de» deux coniques.
Ce théorème se démontre comme celui du n° lUi.
III. Les six centres de similitude de trois roniques homothétique» sont situés trois par trois sur une même droite (yî'g. 44. P- lâj).
I\ . Deux coniques homothéticpies et concentriques déterminent sur une sécante des segments égaux.
Toute corde de la conique extérieure , qui est tangente à la conique intérieure, est divisée au point de contact en deux parties égales.
Ces théori'mes peuvimt se démontrer comme ceux des n'" lOii et 197, qui n'en .sont qu’un cas particulier. En effet, les asynqitotes d'une hyperlsde jieuvenl être considérées comme une conique semblable à l’hy|H‘r-
TDÉORÈJIKS KT l'IlOBLt'.R RS SUR LKS SKCTIONS COMyUES. 3l3
bule, puisqu'elles ont pour «jualion l'ensenible îles termes du deuxième degré de l'équation de riiyiK'rbole.
V. Par le sommet V d'une ellipse, on mène une tangente qui reneonlre une ellipse extérieure tiomolliélique et concentrique, en T et T' ; démontrer qu’une corde (pieleonque menée par le- point V dans l'ellipse intérieure est égale à la demi-somme algébrique des cordes parallèles menées dans l'ellipse extérieure jiar les points T et T'.
237. Deux figures sont semblables, niais non semblablement placées, lorsque les rayons vecteurs proportionnels, au lieu d'être parallèles, font entre eux un angle constant 0, de telle sorte (|u’en faisant tourner l’une d’elles de l’angle 0, on obtienne deux figures bomotbétiqut's.
l'ionver ht conililioii pour que deux voniques iloiinêes pur f’équitlion générale ilu serouil degré soient senildaldes, (juotque non senibhddement placées.
Il suflit pour cela de rapporter la première conique à un nouveau système d’axes faisant un angle 0 avec le premier, et de voir si l’on peut trouver une valeur de 5 qui rende les nouveaux coeflicients «, è, h de cette équation proportionnels aux coeflicienls a , h', h' de la seconde, c’est-à-dire égaux à nia', ni b', mit'.
Lorsque les axes primitifs sont rectangulaires, les quantités a + b, ab — h' ne cbangent pas quand ou transforme b>s coordonnées (1571; on aura donc
a + b - ■ ni (rt'-t- b' ), ab — . né (a b' — h'’),
et la condition cherchée sera
„l, — Ir- a' b'- h'^
En se basant sur le théorème du n“ 158, on trouverait de même, dans le cas des axes obliques,
ab—h^ a'b'—h’^
{a -h b — 2 h costii)’ («' -t- b' — 2 A' cos&i)’
t^ette condition exprime (7-'», 15'») que les angles compris
3 >4 i:iiAi‘irHK XIII.
oiilre les asjmploU’s (réelles ou i nia^'i liai res ) de ces coniques sonl égaux.
§ 1\ . — Du CONTACT DES SECTIONS CONIQUES.
2118. Peur courbes r/e degré m et n se coupent en mn points. Kn effet, ré(|uaiioii à une seule variable, obtenue en éliminante: ou )• entre les équations de ces courbes, est en général de ilegré m/l. r.ette é(|nalioti est quelquefois d'un degré moindre, lorsque, dans réliiiiination, un ou plusieurs des termes renfermant rinconnue à ses plus hautes puissances viennent à disparaître; mais alors un ou plusieurs points d’intersection se trouvent à rinfini (135), et, en tenant compte de ces points, ainsi que des |)oints imaginaires, on peut toujours considérer ces courbes comme se rencontrant en nm points. Par suite, lieux coniques se coupent toujours en quatre points; et, comme on peut joindre quatre points i, 2, 3, 4 pnr six droites 12, 34; i3, 24: i4, 23, ces conii|iies ont toujours trois couples de cordes d’intersection.
Nous etiitlierons d’abord le cas où plusieurs de ces points co’incident, réservant pour uii autre Chapitre celui où il y a des points d’intersection à l’inrini.
23!l. Lorsque deux des points d’intersection de deux coniques co’incident, les courbés se touchent, en ayant pour tangente commune la droite menée par ces deux points, et se rencontrent en deux autres points L, W.Jig. 8(j(«), réels ou imaginaires,- mais distincts du point de contact T. Les coniques ont alors un contact du premier ordre. Lorsque trois des points d’intersection coïncident en T, les coniques ont un contact du second ordre et sont dites osculatrices ; elles ne
Kiy K(i,
peuveiitalors se couper (|u’en un seul autre point L./i’g-. 86(/»).
THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIO.NS CONH.U ES. 3l5
Eiifm, si leurs quiiirc points d’intersection co'incident en T, elles ont un contact du troisit'nie ordre Jig. 8() (c); et, comme elles ne peuvent se couper {(u’en quatre points, c'est là l’ordre de contact le plus élevé qu’elles puissent avoir.
t^onsidérons, par exemple, les deux conif|ues suivantes:
rt.r’4- 7.hxy ■+- by^ -+- ^.gx — o, a’ x’’ 2.h' xy -+- "ig'x t o;
elles passent par l’origine, sont tangentes iHl) à l’axe des >•, et l’équation
x[[ab' — a' b) X 4- ■}.(hb' — h' b) y 4- “i{gb' — b)'\~ o
représente (181, Ex. II) la figure passant par leurs quatre points d’intersection. Le premier facteur correspond à la tangente commune (déterminée par les deux points d’intersection qui coïncident); le second à la droite LM menée par les deux autres points.
Lorsque gh'=g'b, la droite LM passe par l’origine, et les coniques ont un contact du second ordre.
Si, en outre, A A' 6, l’équation de LM se réduit à jr=:o. LM co’incide avec la tangente, et le contact des coniques est dih troisième ordre. Dans ce dernier cas, leurs équations peuvent se mettre sonS la forme
ax^+ zlixy 4- A)-’4- 2gx = o, a'x^+ 2/ixy-t- by--h 3gx = o, et ne dill'érent (]ue par le coefficient de x’. .
2'rO. Deux coniques ont un double contact lors(|ue leurs quatre points d’intersection coïncident deux à deux. La conilition pour que les deux coniques du numéro précédent, passant par l’origine et tangentes à l’axe des^% se touchent en un deuxième point s’obtiendra en exprimant que la droite LM leur est tangente, ou, plus simplement, que les droites joigant l’origine aux deux autres points d’intersection coïncident. En retranchant l’une de l’autre les équations des conii|ues, après les avoir multipliées n'spectivement |iar gc\ g', il vient
(ag- a'g)x’-y 2.{hg— h'g)xy 4- (bg' - b'g)y'= o
ciiaimtri: mii.
p(»iir ré(|ualion do res deux droiles, (|ui coïnridenl lorsqu’on a
:2'»1. Puisqu’une conique peul être assujettie à cinq conditions (liJiJ), on peut tracer une conique tangente à une coni(iue donnée et satisfaisant de plus à trois autres conditions; mais ces irois conditions sc réduisent à deux si le contact devient du deuxième ordre, et à une seule s’il est du troisième. Ainsi on peut toujours trouver une parabole ayant un contact du troisième ordre à l’origine, avec la coni(pie
ax’ ■+■ •y.lixr ■+- b ) ^gx =. o.
Il suflit, pour cela (21)9', de remplacer dans cette étjuation a par a' étant déterminé par la relation a' b — h'.
L’équation du second degré devant remplir deux conditions pour représenter un cercle, il n’est pas possible, en général, de mener un cercle ayant un contact du troisième ordre avec une conique ilonnétî (autrement dit, on ne p<‘ui assujettir a passer par quatre points un cercb; (lui est complètement déterminé par trois points); mais il est facile de trouver l’équation du cercle passant par trois points consécutifs d’une coni(]ue, c’est-à-dire ayant avec elle un contact du deuxième ordre.
Les axes' coordonnés faisant entre eux un angle w, l’équation d’une conique passant par l’origine T, et tangente à l’axe lies y, sera
ax'-i- ihxy-y by^ 4- if^x = o,
et celle d’un cercle assujetti aux mêmes conditions (8'r. Ex. 111),
jr’-H 2.rr cosfrt — arjrsinr,»- o.
En leur appliquant le critérium oblenn an n“ 239 (^6' = on trouve pour le cercle ayant un contact de dmixième ordre
" — — rb siiu.i.
THÉORÈMES ET rilORI.ÈMES SI R LES SECTIONS CÜMgUES. 3l7
(i'oil
Ei - / • ).
Asiiu,)' ‘
(11* cercle oscttlaleur s’iippclle iiiissi cercle de courbure. Son ravori r osi le rayon de courbure de la conique au poini T.
2i2. Trouver le rayon de courbure en un point I* d'une conique à centre.
Soit
l'équalion de la conique raptioilée au diamèlre du poini P cl à son conjugué; pour appliquer les formules du numéro précédenl qui supposent la coiirhc lanfiente à l'ave des >•, iransporlous les aves parallèleinenl à cu\- memes en P; si l'on remplace x par x -I- a'. réf|uaiion de la coniipie devient
et le rayon de courbure ra pour valeur
■ a' sin 'o'
'■) étant l'angle lormé par les axes. Le dénoininateur a' sinr.» représenlani la distance p du centre à la tangente, on a
r— > ou P
(li.'i).
(*} Dans loH Huivant.H» iiouk dt'tt'nitint'ronft In ('raiuloiir du rayon
de cmirbiir«> r, nous orrtip«T de son Hi|;ne, qui imliquo, d‘apK*s rnsaj^e
adople, la dirorlion suivant lai|in‘lle ce rayon doit l'être nu^siirê, ot celle des eqiiatioiiA
a * -J- oos<ij -t-y * q: î»-.r sin w = o
qu’il convient d’attribuer au cercle osculuteiir. On doit prendre le si|;ne tuipèrieiir quand le cerilrt* <‘»t dans la «Urt»ction positive de l’axe des a*, et le Ki|*ne inferieur dans le ras contraire. L*t fornuile du texte donne pour r une valeur positive ou ne|;ative, suivant que la conique est concave ou convexe vers les x positifs.
