CHAPITRE XIV
APPI.ICATION DK LA MKTIIODK DKS NOTATIONS AURKoKES AUX SECTIONS COMMUES.
S I. — l’ROrWÉTÉS OËNËRALES.
240. En raison de sa forme, l’éqnaiion S=;^S' (n° 40) représente une conique passant par les quatre points d’intersection, réels ou imaginaires, des deux coniques S = o, S'=o, et, comme on peut déterminer k de manière à ce qu’elle soit satisfaite par les coordonnées d’un cinquième point, elle représente une conique passant par cini) points (').
Il en est évidemment encore de même lorsque l’une ou l’autre des expressions S et S' ou toutes les deux se décomposent en facteurs. Ainsi l’équation S = /i ap, étant vérifiée par les coordonnées des quatre points où les droites a, (3 rencontrent S, représente une conique passant par ces points, c’est-à-dire ayant a et |3 pour cordes d’intersection avec S. Afin de conserver à certaines propriétés relatives auxjdcux courbes toute leur généralité, nous considérerons, ainsi que nous l’avons déjà fait dans le cas du cercle (106), comme
^ ) (liiiq condition» étant néci'ssairo» pour délorminer une conique, il e»t c\id«MU que réqiiatioii la plus ({cncralc d'une conique assiijeUio à quatre con« dition» doit renfermer une indét4>rminée dont on pourra, du re»te, déduire la valeur de la connaissance d'une cinquième condition. De même, l'equation la plu» {'énèralc d'iiiic conique nssujettie ù trois conditions renfermera deux indet4‘rminêes. Revoir, à ce sujet, les équations d'une conique |MissHiit par trois fmints ou tangente à trois droites (1?4, 129).
l.orM{ue les qiiatn* conditions auxquelles on assujettit une conique ne contiennent qu’au premier degrt* le» coeflicients de son tH^uation, cette conique passe par quatre points fixes, puiMpi'en éliminant tous c«*s coefficient», sauf un, on peut ramener l'cHiuation à lu forme S=AS'.
ai .
3a4 CHAPITRE XU.
conlc d'inierspfiion imnginaire cHle des droites a ou {3 i|iii ne reneonlre jtas la courbe S en des points réels.
On verrait de même que ay — /i 3ô représente une coni(|ue eircoMserite au quadrilatère a3y5 (12'2) (').
Il est bien entendu que, dans ce qui précède, % peut représenter non-seuleinent la dioite dont l’éijualion a élé mise sous la forme xcosst -+- vsinz .-/> (comme au n” 53), mais encore celle qui est défuiie par ré(]uaiion générale du premier degré.
230. La Condition pour que S — /i S' =o représente deux droites s’obtient en remplaçant g, b,... parci -f- ha, b hb dans la relation
abc -f- y — aj ‘ — bg’ — cA’ = o.
On arrive ainsi à une équation du troisième degré pour déterminer h ; il y a donc trois valeurs de /r pour lesquelles S — /, S'=o représente deux droites. Si l’on désigne ces valeurs par /r',/i",A", les équations S — /i'S'= o, S — /i"S' = o. S — /i"S’ o représenteront les trois couples de cordes qui joignent les quatre points d'intersection de S et S' (238).
KXKUC.ICES.
1. Trouver l’équation d'une conique p:issant par les points où une conique donnée S rencontre les axes.
I. es axes .r = o, o sont, dans ce cas, les cordes d'intersection; l'équation cherchée sera donc S — h.ry, f, étant une indéterminée ( )'(«/• 151, Ex. I).
II. Trouver l'équation de la conique passant |>ar les cinq points
En partant des équations des côtés du quadrilatère ayant les quatnpremiers points (wur sommets, on |)ourra mettre l'équation de la conique sous la forme
• Si a ot Ji sont xU'iix «les comIps (rintert*oclioii «iiiatit* {KtiiiU
«rtiiio coni(|iic S, et si y et o cii s«>n( «l«'u\ «litres, il est iii(lUrerr*Ml do mettre l'equiitinn gi>iiér:ilo des coiiii|(i«>s passant par les quatre points, sons riino ou l’aiiln* dos f«>rmes S — Aa,*?, S — Ayo* a/9 — Aytf, où A «'s| iiidetorminee ; pnistpie, en vertu «In principe énoiirê, requatton de S est elie-inùine «1«.‘ lu r«nnie — Ayo.
DBS SECTIONS COMyCES. NOTATIONS ABRÉUËKS. 3î.5
et en éerivant <|u’elle est vitrifiée par les coordonnées du cim|uièmo
(Kiint ( — 4ï 3)i ou trouve / = > ce qui donne, touu's réductions
faites, pour l’éipiution cherchée.
