uo.r;- 3oi i ' -e 1 101 ,r — ititiâ ) 1 380 = o

251. Lorsqu’une des droites a, j3 est tangente à S, ou lorsque ees droites se coupent en un point de cette courbe, les deux coniques S et S — A a3 sont tangentes, puis<|u’aIors deux de leurs points d’intersection coïncident. Ainsi, T = o étant l’équation de la tangente menée àSparnnde ses points (æt', v'),

S = T { /ar -I- ni y -é n )

sera l’é(|uation la plus générale des coniques tangentes à S en (x', y'); il faudra d’ailleurs trois autres conditions pour déterminer les coefficients /, ni, n, et par suite la conique.

Si la droite /x -+- my ■+■ n passe par (x' , y'), trois des points d’intersection des coniques coïncident; l’équation la plus générale d’une conique osculatrice à S en [x',y') est donc S = T(/x-i- niy — Ix' — niy'). On en déduit facilement l’éciuation du cercle osculateur en exprimant que le terme en xy s’évanouit et que les coefficients de x^ et de sont égaux : on a ainsi deux conditions pour déterminer / et m.

Lorsque la droite Ix -y my n coïncide avec T, l’équation de la seconde conique prend la forme S= A T’ et représente une conique ayant avec S un contact de troisième ordre, c’està-dire quatre points consécutifs communs (comparer à celte éijuation celle du n” 239).

EXERCICES

I. Les axes de S sont parallèles à ceux do S — / S', lors<pi'ils le sont à ceux de S'.

En elTcl, si l’on prend pour axes coordonnés <les )>aralléles aux axes de S, les é<iuations S = o et S'= o n’auront i>as de terme en .rv. Lorsque S' est un cercle, les axes de S — /S' et do S sont parallèles. Dans le cas oii S — /S représente deux droites, les axes de S — / S' ne sont autre chose que les bissectrices intérieure cl extérieure de l’angle formé |)ar cesdroites, cl on retombe sur le thixirème du n“ 214.

Slt) CH4PITRE XIV.

II. Si les axes de coordonnées sont parallèles aux axes «le S et de S — / les équations de a et 6 sont de la forme

Ix -I- »/ 1 -e n --- O. Ix — m ) . o.

III. Trouver l’équation du a'rcle osculatenr à une conique à centre. Celte équation est de la forme

eu exprimant que le terme en xy s’évanouit; les coetlicients de .r' et

de r’ devant flre éeaiix, on aura '* — ce qui donne, pour le

cercle osculatcur cherché,

IV. Trouver l'équation du cercle osculateur à une parabole. Héihinse.

-t- ip-r') (,r’ — p-r) ■ [a.r:» ' — p{x -r- j:')] {'i.m ' />x — 3/jx').

232. L’équation S — /i ajS = o rcprésenlanl, ainsi que nous l’avons vu, une conique menée par les quatre points P, Q, p, q {.fil'. 88), où a et (3 rencontrent S, il est évident que, si les droites a et J3 se rapprochent, les points P et />, Q et q se rappro-

Fic. SH.

client aussi. Par suite, quand les droites a et (3 coïnciilenl, /es points P et Q et ^ coïncident aussi, et la seconde conique est tangente à la première en P et Q. Donc, l'cqiia- /ion S-t-/isc'— o représente une conique ayant avec S an

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. double contact suivant la droite x, qui est alors la corde de contact. I.orsqiie a ne reiiconlre pas S, a est imaginaire, mais reprcseiUe toujours la corde de coniaci de S et S — / a’.

On verrait de même que xy = l> ^‘ représente une conique laiigente aux droites a et y, qui ont alors p pour corde de contact (123).

L’équation d’une conique avant avec S un double contact aux points (j:', r'), (x", y") peut encore se mettre sous la forme S = /.TT', en désignant par T et T' les équations des tangentes en ces points.

233. Lorsque la droite a est parallèle à une asvmplote de la coniques, elle est aussi parallèle à une asymptote de S — A a, 3, qui représente alors une courbe passant par quatre points, dont un à l’infini. Q'iand ^ est en outre parallèle à l’autre asymptote de S, S — I, xZ est une conitpie passant par deux des points à l’infini de la courbe S. On peut, du reste, reconnaître facilement sur les équations de forme différente les coniques ayant «les points d’intersection à l’infini; il suffit, pour cela, de se rap|ieler que ri’-i]ualion d’une droite à l’infini se réduit à une constante (07), c’est-à-dire à o.x -h o . )■ -i- C = o, et que, par suite, on peut rendre à une éijualion riiomogénéilé «|ui lui manque (09) en y remplaçant un ou plusieurs des facteurs" constants par o.x -f o.f -+• C. Ainsi ré«iuation ,rr = A’ d’une conii)ue rapportée à ses asymptotes (199) n’est qu’un cas particulier de ré(|uation xy — jS’qui représente une coni«iue rapportée à dettx tangentes et à leur corde de contact ( 123, 252 ); car, en la mettant sous la forme xr = (o.x -t- o.y-+- A )’, on voit que les droites x et r sont des tangentes ayant leur corde *le contact à l’infini (loi).

25i. L’équation de la parabole ,>■’ =/;x n’est elle- même qu’un cas particulier de l’équation générale ay = car elle peut s’écrire x(o.x -t- o.r-t- p} = r‘, ce qui montre que la 4'ourbe est tangente non-seulement à la droite x au point où elle rencontre r, mais encore à la droite p à l’infini, au point où elle coupe )•. On arriverait à la même conclusion en partant de r«’‘quation générale de la parabole, qui. étant mise

sous la forme

CIIAPITRK XIV.

( x.r -h -I- ( 7. -f- 2/j + c) ( O. Jf + O .>• H- I ) — O,

fait voir que la droite + y./y- -t- e cl la droite à riiilini sont des tangentes ajanl aj: + (sr pour corde de contact, et que /rr parabole a une tangente située à l’infini; d’ailleurs ré(|uation qui détermine les points à l’inliiu dans la parabole est un carré parfait (137 J, par suite les deux points de la courlx» situés à l'infliii coïncident, et la ligne à l’infini peut être considérée comme une tangente (83).

L’éciualion générale

ax‘‘ -e r.ltxy ■+- by^ -t- ^gx -I- o.fy 4- c = o

n’est qu’une forme particulière de l’équation ay - l;^o ( 122); car les trois premiers ternies représentent deux droites a et y, qui passent par l’origine, et les trois derniers la droite |3, située à l’inlini, et la droite ô, igx -t- 'i-fr+ c. Les lignes a et y rencontrent donc la courbe à l’infini, et o représente la droite passant par les points où a et y renconlrenl la courbe à une distance finie.

255. En se reportant encore au n" 253, on peut voir que S = /i ^ représente un système de coniques passant par les deux points situés à une distance finie où rencontres, et par les deux points à l’infini où S est rencontrée par o.a;-i-o. v-i-/r. Comme il est d’ailleurs évident que les coefficients de .r’, et xy sont les mêmes dans S:= o cl S — /riâ= o, ces équations sont celles de deux coniques semblables et semblablement placées (231 ). Donc, coniques homothétiques se coupent toujours en deux points à l’injini, et ne peuvent, par suite, se rencontrer qu'en deux points situés à une distance Jinie.

On peut arriver géométriquement au même résultat en considérant successivement les trois genres de coniques :

I" Hyperboles. — Les asymptotes de deux hyperboles bomoihéliques sont parallèles )285), c’est-à-dire qir’elles se coupent à l’infini; mais chaque asymptote rencontre sa courbe à l’infini : donc, deux hyperboles semblables et semblablement placées

UES SECTIONS CONlgtES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 3î.t)

SC rouppiil on deux points situés à l’inlini et qui se irouvent il lu rencoiilro de leurs asAiiiptotes. Ainsi les points de reiirontre à l’infini, ■ de OY et or, de 0\ et ox {/!('. 8()), sont

Kig. 89.

communs aux deux courbes: 011 peut voir sur la Jif'. 8<) un des points d’intcrsectitiii situés à une distance finie, l'autre se trouve sur les deuxièmes branches des bjperboles.

2“ Ellipses. — Les ellipses ne différent des hyperboles qu'en ce que les asymptotes sont imaginaires au lieu d’être réelles; d'ailleurs, la direction des points à l’inlini de deux ellipses semblables est déterminée par la même équation

ax' -+- 2 Itxy 4- by'‘ — o ( 136, 234 ).

Bien que les racines de cette équation soient imaginaires, il n'en est pas moins vrai de dire qu’elles sont égales pour lesdeux ellipses, 'et, par suite, que ces ellipses peuvent être considérées comme se coupant en deux points imaginaires situés à l'infini. Cette manière de voir n’est, du reste, qu'une extension de ce que nous avons dit au n" 249 sur les cordes imaginaires d’intersection des courbes S et S — A a|3, au cas où une des droites a, j3 passe à l’infini.

3" Paraboles. — Toutes les paraboles ont une tangente à l’infini (254); la direction du point de contact, ne dépendant que des trois premiers termes de l’équation, est la même pour deux paraboles semblablement placées. Donc, deux paraboles hortiothéliques se touchent à l’infmi.

Il résulte de ce qui précède que les points à l’infini, communs à deux coniques bomotbétiques, sont réels, imaginaires.