CHAPITRE XIV

OU coïncidcMi, suivant qu»? res conhiues sont dos hyperboles, des ellipses ou des paraboles.

256. L’équation S = /i, r'esl-à-dire S = /■ (o.x 4- 1)’, est un ras partirulicr de S= h x'\ par suite (252), elle représente une conique ayant avec S un double rontaci suivant une droite à l'inrini; et, connue S — h ne diffère de S que par un terme constant, ces coniques sont non-seulement honiothétiques (les trois premiers termes des deux équations étant identiques), mais encore concentriques, puisque les coordonnées du centre d'une conique sont indépendaiiles de la constante c ( HO). Donc, deux coniques homothétiques et concentriques pencent être considérées comme se touchant en deux points II l'injini. D’ailleurs, les asymptotes de ces deux coniques non -seulement sont parallèles, mais coïncident : ces courbes passent donc jiar les deux mêmes points à rinfini, et ont mêmes tangentes en ces points.

Lorsque les courbes S, S — A’ sont des paraboles, elles ont même tangente .à l’inlini, et. par suite, ont un contact de troisième ordre à rinllni(251); mais deux paraboles dont les é(|uations ne diffèrent que par une constante sont égales, puisque l<‘s [laraboles égales ~ px, r’ = p[x -t- n) restent encore égales quand on déplace les axes de coordonnées. D’ailleurs, l’expression du paramètre est indépendante du terme consianl. Les paraboles S, S — A’ sont donc égales, et l’on voit que deux paraboles égales et semblablement placées pencent être considérées comme ayant un contact du troisième ordre à l'infini.

1o~l. Tous les cercles sont semblables, puisque leurs équations ne diffèrent que par les termes du premier degré. Donc, tous les cecles passent par les deux mêmes points imaginaires situés à l'infini, et, par suite, ne peuvent se couper en plus de deux points à distance finie; de -plus, tous les cercles concentriques se touchent en deux points imaginaires à l’infini, et, pour cette raison, ne peuvent se rencontrer en aucun point situé à une distance finie. Ceci permet de ne considérer beaucoup de théorèmes relatifs aux cercles que comme un cas par-

DUS SKCTIONS KS. NOTATIONS ABRÈG^KS. 33l

ticulier des thcorèmes se rapporlanl aux roniques qui passent par deux points fixes.

258. Considérons encore l'équation /’a= -I- m’3’ = n'y', qui représente une section eoniipie ayant le triangle a,3y pour triangle autopolaire (99). EHe peut se mettre sous l'une ou l'autre des formes :

ny' — a’; n'y' — l' x' = ni' ; l' x' ni'^' — n'y'.

La première montre que les droites ny ni^, ny — »i(3, qui se coupent en ((3, y), sont tangentes à la conique et ont a pour corde de contact; le point ([3, y) est donc le pôle de x. De même, d’après la deuxième forme, (y, a) est le pôle de 3; par suite (a, 3) est le pôle de y. Mais i-ette ilernière conclusion peut aussi se tirer de la troisième forme, qui indique que les deux droites imaginaires /a±/;i(3y — i sont tangentes à la conique suivant la corde de contact y : car ces droites (tangentes menées par un point intérieur de la conique) se coupent en un point réel (a,^) qui est le jiôle de y.

On verrait, en suivant le même procédé, que l’équation

O a’ -I- a /( a,3 -f- Op' = c y'

représente une conique par rapport à laquelle (a,j3) est le pôle de y, puisque son premier membre peut se décomposer en deux facteurs correspondant à des droites (jui se coupent en (a, (3).

259. Notons ici quelques théorèmes, qui ne sont que la traduction des équations précédentes, faite au moyen du principe énoncé au n“ 3V.

L'équation ay = h p' fait voir que : Lu produit des distances d’un point d'une conique à deux tangentes Jixes est dans un rapport constant avec le carré de sa distance à leur corde de contact.

L’éipiation ay = h pà peut s’énoncer ainsi : Le produit des distances d'un point d’une conique aux deux côtés opposés d’un quadrilatère inscrit est dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux autres côtés.

CHAPITHK XIT.

De ce dernier Uiéorème on peut déduire le suivant: Le vapporl anhnrmonique du fuisreau obtenu en joignant un point O quelconque d'une conique, à quatre points Jixes, A,B,C,D, de cette conique est constant.

On a, en cll'et, les valeurs {Jig. 90)

OA OBsinAOB OC.ODsinCOD