AB ’ - CD
en les substituant dans l’équation — et supprimant le
Kic- 90.
produit OA. ÜB. OC. Oü qui se trouve dans les deux membres de l’équation, on trouve
sinAOB sinCOD . AB. CD
siniÜ)C sinAOD '' BCTaD’
Le deuxième membri* de ré<|uation est constant, et le premier exprime le rapport anbarmoniqtie du faisceau OA.OB, OC, Oü.
Les conséquences de ce théorème sont si nombreuses et si importantes que nous consacrerons un Chapitre spécial à leur développement.
260. Lorsque 8 = 0 est l’équation d’un cercle, S représente (90) le carré de la tangente menée au cercle par un point (x,/); et alors l’iiquation S — /ra(3=o, qui est celle-d’une conique ayant a et pour cordes rl’interseciion avec le cercle, exprime que : Si le carré de la tangente menée par un point à un cercle Jixe est dans un rapport constant avec le produit des distances de ce point à deux droites fixes, ce point décrit une conique passant par les quatre points d'intersection des jlroites avec le cercle.
IIKS SECTIONS COMOfES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 333
Ce tliéorème subsiste quelles que soient la grandeur du cercle et la nature, réelle ou imaginaire, des points d’intersection des droites avec le cercle. Dans le cas où le cercle est inliniment )ietit, il peut s’énoncer de la manière suivante : Lt" lieu tiécril par un point te! que le carré de sa distance à un point fixe soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux droites fixes, est une section conique. Les droites fixes doivent être alors considérées comme les cordes d’intersection imaginaire de la conique avec un cercle infiniment petit ayant le point fixe pour centre.
201. ün peut tirer des déductions analogues de l’équation S — /i a’= o, lorsque S représente un cercle. Ainsi donc : Le lieu des points dont les riistances à une droite fixe sont dans un rapport constant avec les tangentes menées de ce point à un cercle fixe, est une conique qui touche le cercle aù.v deux points où il est rencontré pur la droite ; et réciproquement; Si un cercle a un doulde contact avec une conique, la tangente menée an cercle par un point de cette conique est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la corde de contact.
Dans le cas particulier où le cercle est infiniment petit, on retombe sur la projjriété fondamentale du foyer et de la directrice, par suite : Le foyer d’une conique peut être considéré comme un cercle infiniment petit touchant la conique en deux points imaginaires situés sur la directrice.
202. En général : Si dans l'équation d’une conique on remplace les coordonnées courantes par celles d'un point, le résultat de la substitution est proportionnel au produit des segments de la corde menée par ce point parallèlement à une direction donnée ( * ).
Si l’on désigne par c' (l’3V) le résultat de la substitution
(• ' Ce theoremc* it’ap))Hqiie ruix r<»iiTl>en tlejrré quolconijm*.
334 CH*rlTRE XIV.
indiquée, ce produit a pour expression (148)
a cos’ 6 + 3./i cosO sin ô + 6 sin’ 6*
et il est proporiioiiuel à c', tant que 0 reste constant.
EXERCICES
I. Lorsque deux coni(iuos ont un double contact, le carré de la perpendiculaire abaissée d’un |>oinl de lu première sur la corde de contact est dans un rapport constant avec le produit des serments déterminés |>ar la seconde sur cette perpendiculaire.
IL Si une parallèle à une droite donnée rencontre deux coniefues aux points P, 0> /'> '/i le lieu <lcs points O tels, que les |>roduits OP.OQ et Ofi.Oi/ soient dans un rapport constant, est une conique passant par les points d'intersection des coniques données.
III. Le diamètre du cercle circonscrit au triangle, formé |)ar deux Umitentes à une conique à centre et leur corde de contact, a pour valeur en désignant par //, />* les demi-.liamètres parallèles aux tangentes, et par /i la distant* du centre à la cortie de cuniact ( M. Buiinside).
Nous sup|ios(‘rons, pour simplifier, t|u’on ait multiplié l'équation de la conique par une constante telle, que le résultat de la substitution des coordonnées du centre soit égal à funite.
Soient r" les longueurs des tangentes, et S' le résultat de la substitution des coordonnées de leur point d'intersection, on a
Soit en outre o la distance à la corde de contact du sommet du triangle, la remarque du n° to!Î donne la relation
par suite
tr w
et on sait, par la géométrie élémentaire, que le premier membre de cette équation représente le diamètre du cercle circonscrit au triangle.
IV. L’expression (2i2) du rayon de courbure peut so déduire soit du tbéorème précédent , en supposant que les deux tangentes coïncident, soit du théorème ci-après, dû à M. Roberts.
DES SKCTIO.NS CDMljtES. NOTATIONS ARHEoKES.
Si l’on rcprwfnte |iar h i-l n’ les longui-urs de deux normales qui se coupent, par i> et // les dislaneis du centre aux tangentes corresimnduntcs, et }xir /»' le demi-diamètre parallèle à leur corde de contact, on a la relation
np H- //'/»':= ib".
En désignant par S' le résultat do la substitution des coordonnées du milieu do la corde de conUrt dans l'équation de la conique , par a, o' les distances de ce milieu aux tangentes, et par ip la longueur de la corde : on trouve, d’apres les procéilés employés dans l'Exercice précédent, ^’ = //’S', a=pS‘, a' //S'; on peut voir d'ailleurs (]ue //a -h /l'a' — ui’.
•2C3. Lorsque deux eoniques ont un double contact avec une troisième, les cordes de contact et deux des cordes d'intersection concourent en un même point et forment un faisceau harmonique.
Soit S = o réquation de la troisième conique; celles des deux autres seront
S -t- L’ = O, S-t-'M’ — o; en les retrancliniU membre à membre, on trouve I.’ - M’ = O
pour l’équation de deux îles cordes d’intersection; ces cordes L + M = o, L — M=o passent par l’intersection des cordes de contact L et M et forment avec elles un faisceau barmonique (57 ).
EXERCICES
I. Les cordes de contact do deux coniques avec leurs tangentes communes passent par l’intersection do leurs cordes communes. Ce tliéorêmo n’est qu’un ras particulier du précédent, dont il sc déduit en supposant que la conique S se transforme en deux droites.
II. Les diagonales d’un quadrilatère inscrit passent par le même point que celles du quadrilatère circonscrit correspondant, et forment avec elles un faisceau harmonique..
Ce théorème peut se déduire du précéilcnt en y considérant S comme une conique, S -t- L’, S -t- .M' comme des couples de droites; on peut aussi la démontrer de la manière suivante. Soient r,, t^, t, les deux
CHAIMTRE XIV.
ciiuplc# (ic lan^onles, r, et les rordes de contact, c'est-à-dire les diagonales du quadrilatère inscrit correspondant. L’c(|ualion de S peut se mettre sous l'une ou l'autre des formes
qui ne peuvent ililîérer que par un facteur constant '*. Les expressions cj — /.rj , — ‘/rj/, sont donc identiques, bi première ej — /rj = o
reprt'sente deux droites qui passent par l'intersection de c, , r, en formant avec elles un faisceau liarmonique; la deuxième =roest celle
d’un lieu passant |>ur les points (t,, t,), {/„ f,}, (/,. f,) cl (/„ et montre par suite que ces droites joijtncnt res|>ectivement les sommets du quadrilatère circonscrit (<„rj, et (r„ /J.
111. Trouver les èriualions des diaKonales du (piadrilatèrc formé par les tangentes menées à une conique à centre par les points ayant |)our angles e.xcc'ntriipies aa, -xp, -J.-/, ao.
On a dans ce cas
r, --- -cosaa H- ysinaz — i. /, = -cosaS -e vsinap — i,
c, — j^cos( * -e P) sin(* -+- ft) — cos(a — ?), et par suite
Kn appliquant la méthode île l'ICxercice précédent, on trouve, (lour les équations des diagonales.
sin(a — Pi sin(V — lî)
26'*. Lorsque trois coniques ont un double contact avec une quatrième, six de leurs cordes d' intersection jmssent trois pnr trois par le intime point et forment ainsi les côtés et lits diagonales d’un quadrilatère.
Les équations desconii|ues étant .alors
S -4- L’ — I), S -t- M’ — o, S 4- N’ — O, celles de leurs cordes d’inierseeiion seront, d’après le numéro
DES SECTIONS CONH(lES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 337
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