L -t- .VI
N-hL = o
ces cordes passent donc trois par trois par le môme point.
On peut déduire de là, comme au numéro précédent, plusieurs théorèmes particuliers en supposant qu’une ou plusieurs des coniques se transforment en couples de droites.
Ainsi, par exemple, si S représente deux droites, ces droites sont les tanfjentes communes à S M’, S + N', et si L est une droite menée par l’intersection de ces tangentes, S -i- L' sc réduit à deux droites passant par cette môme intersection, üonc ; Si par l’intersection des tan"entes communes à deux coniques, on 'mène un couple de droites, les cordes quelles déterminent sur chaque conique se coupent sur une des cordes communes aux deux coniques. C'est l’extension du théorème donné au n" IKi. De môme : Les tangentes menées aux points od ces droites rencontrent une conique se coupent sur une des cordes communes aux deux coniques.
2üa. Lorsque les coniques S -t- L’, S -t- M’, S -i- N’ se Iranslormenl toutes en couples de droites, ces droites forment un hexagone circonscrit à S, et les cordes d’intersection en sont les diagonales : le théorème du n“ devient alors le théorème de Brianchon : Les trois diagonales opposées d'un hexagone circonscrit à une conique se coupent en un même point. Bar diagonales opposées nous entendons (en supposant que les côtés soient numi'rotés i , 2, 3, 4, 5 et (i) les droites qui joignent ( 1 ,2) à ( 4.5), (a,3) à (5,6) et ( 3,4 ) à (6, 1 ). En changeant l’ordre des côtés, on peut former avec les mêmes droites six hexagones dilférents auxquels le théorème précédent reste toujours applicable.
On aurait pu démontrer le théorème de Brianchon, d’après la méthode indiquée au n° 263, Ex. II, en observant que si
CHAriTRE HIV.
sont fies formes éi|uiviileiucs de r(‘qualion S — o, c, = c, = c, rejirésenlenl trois dia^’Oiiales concourantes ( *).
2G(>. Lorsque trois coniques ont une corde commune, les trois cordes d'intersection non communes sc coupent en un in/tme point.
Soient S = O, L =1- O les équations d'une des coniques et de la corde commune, les <‘quaiions îles deu\ autres coniques seront
S -I- LM — O, S -I- LN = O, et on aura, pour leurs cordes d'intersection,
la corile M — N, non commune auv trois coniques, passe par l'intersection de M et X.
D'ajirés la remarque du n" i'i", ce tliéorème n'est qu'une extension de celui du n" IÜ8 : les axes radicaux de trois cercles SC coupent en un même point, puisque les trois cercles ont une corde commune' (la droite à l'inlini) et (|ue les axes radicaux sont des cordes d'intersection non communes.
Le théorème du n“ peut aussi être regardé comme une extension du même théorème, puisque trois coni(|ues qui ont un double contact avec une quatrième peuvent être considérées comme ayant quatre centres radicaux par chacun desquels passent trois de leurs cordes d'intersection non communes.
On pourrait encore énoncer de la manière suivante le théorème démontré ci-dessus : La corde d’intersection des coniques passant par quatre points, avec une conique fixe menée par deux de ces points, passe par un point Jixe.
(*) >1. roilhuiiter U fail obscniT nvi»c raiMHi, ijii’rii rnhwMicc cltî K*glp pre- (lélfrminer qtiollo osl c»>lle des dia^roiiales de J', delînie par
c, = -K e,, la démonstration 4|iii \ieiit dVtre doiiiioe ne prouve (prune ehos<% à savoir : (pie les droites joignant (i, ?) à ('|. r>), et (3,3) à (5», 6) se coiijx'nt, soit sur in droiU^ (3, 4)? 0» droite (i, 3), { '|, fi). Mai», dans ce
dernier cas, triaii^liH i)3, /|jfi sont honiolo^;ues (GO, hx.lll\ et les point» i.'l, 33, 3ti sont en li[;ne- droite; en supposant alors «pu* cinq de» c6t(^s de l'hexagone soient fixes et tangents à une coiii(}ue, le sixitune r<îté, au lieu d’être tangent à la coni<(ue, pusst' par un point fixe.
Digilîzed by Coogle
DBS SKCTIO>S CONIQUES. NOTATIONS ABRËgBES.
KXERCICES.
I. Si par (leux des [loinls d’inlersection A el 1$ d(( deux coniques (fin- oO. ni('ne des droites AP, BQ rencontrant les coniques en I’, Q,
Fin- 9'-
fj, 7, les cordes 1>Q, /«/ se eouiient sur la (torde CD commune aux deux coniques.
Les droites OA, OB peuvent en ofl'el être consid(T(k's comme une troisi(‘me conique.
II. Lors(pie deux droites mem'-es par le point de contact do deux coniqu('s les rcnconirent en P, />, Q, y, les cordes PQ, p// se coupent sur la corde d’intersection des deux coniques.
Ce théorème peut être consitU'n't comme un cas particulier de relui du n“ 264, puisque, l’intersection des tangentes communes à deux coniques (pii se touchent se n’-duit au point de contact (117, Cor.).
207. L’(‘quatiüii — d’uiu; cuiii(]iic circonscrite à un qiiadrilalctre peut nous servir à démontrer le théorème de Pascal : Les trois points de concours des côtés opposés d'un hexafrone inscrit dans une conique sont en ligne droite.
Désignons les sommets de l’hexagone par a, b, c, d, e,f, et
les droites joignant les points a et h, h et c,... par ab, bc La
conique étant circonscrite au quadrilatère abcd, son éijuation peut se mettre sous la forme
• ab.cd — bc.ad — o.
On peut aussi l’écrire
de .fa — ef.ad = o,
puisque la conique est circonscrite au ([uadrilatère defa. En combinant ces équations, on a
ab . cd — de .fa =z(bc — ef)ad.
