CHAPITRE XIV

Le premier membre de celle équalion qui, en raison de sa forme , est celle d’une figure circonscrite au quadrilatère formé par les droites ab, de, cd, af, peut se décomposer en deu\ facteurs, et représente, par suite, les diagonales de ce quadrilatère. El, comme ad est évidemment la diagonale qui joint les sommets a et d, bc — ef doit être l’autre diagonale menée par les points {<16, f/e), (cr/, a/); il est d’ailleurs évident, d’après son équation, qu’elle passe par le point (6c, ef). Os trois points sont donc en ligne droite.

2(>8. On peut, comme pour le théorème de Brianchon, obtenir un certain nombre de théorèmes relatifs à ces si\ points, en les prenant dans divers ordres. Ainsi, la conique étant circonscrite au quadrilatère bcef, son équalion peut s'écrire

be.cf — bc.ef = o.

En ridenlifianl avec la première équation du numéro précédent, il vient

ab . cd — be . ef = ( ad — ef)bc.

Les trois points («6, cf), {cd, be), {ad, ef] sont donc sur la droite ad — ef o.

On trouverait de même, en identifiant la deuxième et la troisième forme de l’équation de la conique, que les trois points (f/e, cf), {fa, be), {ad, bc) sont sur une même droite bc — ad =z O. D’ailleurs les trois droites

bc — ef z=o, ef — ad = o, ad — bc ~ o

se coupent en un même point (41), De là le théorème de Sleiner : Les trois liff/ies de Pascal, obtenues en prenant les sommets de l‘hexa>^one dans les ordres successifs : abcdef adcfeb, afcbed, passent par un même point. On trouvera de plus amples développements à ce sujet dans une Note placée à la fin de ce volume.

EXERCICES

I. Si l’on prend trois points a, b, c sur une droite, et trois points o', h', c' sur une autre, les interscriions {br', b'r), {en', r'n), {ab', n'b) sont en en ligne flroite.

DBS SECTIOSS COKKjUES. ^OTATIO^S ABRÉGÉES. 34)

Ce théorème n’e>t qu’un cas particulier (io celui (le Pascal, et subsiste encore lorsqu'une des droites est à rinlini; les lignes b a' ci ca\ ch' et <ib\ ar' et br' forment alors trois couples de droites parallèles.

II. Quatre droites déterminent quatre triangles (qu’on obtient en ne considérant successivement que trois d’entre elles); les quatre intersections des hauteurs de ces triangles sont en ligne droite.

Car, en désignant par«, b, c d, les quatre droites données, et |>ar it\ b', <■', f/' quatre droites perpendiculaires, nous pouvons appli(iuerle théorème pré'cédent aux trois points d’intersei’tion de «, b, r avec d, et aux trois points situés à l'infini sur n', b, c (*). *

III. Le théorème de Steiner : « Le point do rencontre des hauteurs du triangle circonscrit è une parabole se trouve sur la directrice », |h“uI se déduire de celui de Brianchon.

Désignons, en effet, par n, 6, c les trois tangentes, par b',c les tangentes perpendiculair(‘s, et par œ la ligne a l’infini, qui est auss( une tangente (S.'Ji). Les six droites n, b, c, r', « , «' étant des tangentes, les droites {ab, c'oo ), (bc, «'»), (ce', an') se coupent en un mémo point. Or les deux premières sont des hauteurs du triangle, et la dernière est la directrice! sur laquelle se coupent les couples de tangentes perpendiculaires (221). ('a!tlc démonstration est due à M. John C. Moore.

IV. On donne. cim| tangentes d’une conique : trouver le point de contact de l’une d’elles.

ABCDE étant le {wntagonc formé par les tangentes, les diagonales AC, BE se coupant en O, la droite DO passera par le point de contact situé sur AB. Cette solution se déduit du théorème de Brianchon, (>n supposant infiniment voisins deux des cotés de l'hexagone; on sait, en effet, qu’une tangente est coupée au point de contact par la tangente infiniment voisine (P!>).

21)9. Le théorème de Pascal permet de construire par points une conique dont on connaît cinq points A, B,C, D, E (ftg. 92),

(*) (leniuiiülration m’n vtê coinimiiuqiioo ù lt< Toîk par MM. <i<‘ Moqpu)

f*t Hiiriiaide. I.c theort«mo peut detliiirv de celui de Steiner (227,

Kx. 111), puisque lea quatre points de concours de»> haiitetira t»c trouvent «ur la directrice de la parabole tangente aux quatre dnnU'S donne<M. On en concilia rait, en haftant Hiir le C«»rollaire du n*’ 123, que 1(*« tvreb^ cirronacrita aux quatre trianglea pasM'iit par iiii même point, le loyer de la parai oie. Dana le caa de cinq droili^a, lea foyer» de» cinq parabole» tangente» à quatre d’entre elle» »e trouvent sur un cercle (Auguste Miquel), f oir Catalax, Tkcofèmes rt Problhntt de Géométrie élémentaire^ p. 93.

CIIAPITRK XIV.

piiiMjtron peut :ilors, en menant une droite quelconque AP par un des points donnés, déterminer le point F où elle ren-

eonlre de nouveau la courbe, ei, par suite, aulunt de points de la conique qu’on voudra. En elVet, d’après ce théorème, F étant un sixième point de la courbe, les points d’intersection (AB, DE) ou Ü, (BC, EF) ou Q, (CD, AF) ou P sont en ligne droite, et les points 0 et P sont connus par bvpotbèse. Si donc on joint () et P, E et Q(Q étant l’intersection de Bi; avec OP), le point F se trouvera à la rencontre de OF sivec AP. En d’autres termes, F est le sommet du triangle FI’O dont les rôt/s passent par les points Jixes A, F!, O, et dont les deux autres sommets P et Q glissent le long de deux droites Jixes CD et C.B. [f 'oir aussi n° 47, Ex. 1111. C'est sous cette forme que le théorème a été donné par Mac Laurin.

KXEUCIC.HS.

I. Trouver le centre d une roniqne dont on connatt cinq points.

Menons AP parallèle à 1)C (,/fg. 92), et déterminons le point K ; AF et IIC

sont-alors deux cordes parallèles; en joignant leurs milieux, on aura un diamètre. On déterminerait de même un autre diamètre, et par suite le eenlre, en menant QE parallèle à CD.

II. Mener une tangente à une conique par un des cinq points qui la définissent. Le i>oint F coïncide alors av(*c X, et QF prend la iwsition «/.A : />\ i^st donc la tangente clierchée.

III. Trouver, en coordonnées Irilinéaires (l»i), le lieu du sommet d'un triangle dont les deux autres sommets glissent sur deux droites fixes, et ilont les côtés passent par trois points fixes. (C'est, ainsi cpie nous venons de le voir, le mode de génération des coniques indiqué par Mac Laurin.)

DKS SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ARBÉCtES. 343

Soient a, p, •/ les côtés du triangle formé |>ar les points fixes,

Ix -h mp ■+■ //y — O , /'a -t- ni'p -t- //'•/ = o

les équations dos droites fixes, * = jaS celle de la base, l-a droite joignant (S, 7) à l’intersection de la base avec la première droite fixe aura pour équation

{la ■+■ iii)pj -t- «7 = o;

de même lu droite qui joint [x. ■/) à l’intersertion de la baseavec la deuxieme droite fixe sera

• {l'a -1- iii')x ■+- n'a-f = o.

En éliminant a entre ces deux équations, on trouve, pour le lieu cherché, liii'xp = {"ifi -t- «7) (/'a -e "''/)■

('.'est une conique passant par les points

(,^V). r/. »), {x, la T iiip -i- /!•/). {p, l'xt- in'p ny).

§ 11. — Des T.qlations rapportées a deux tancentes

Er A LEUR CORDE UE CONTACT.

270. Lorsqu’une conique est rapportée à deux tangentes L, M et à leur corde de contact H, on peut déterminer la position d’un point de la courbe par une seule variable (coniine nous l’avons déjà fait nu n°22!)), et arriver ainsi à formuler plus simplement un certain nombre de démonstrations.

L’équation de la coni(|ue étant alors (2.‘)2) LM = H’, ixL = U représente une droite passant par le point LK et par un ])oiut de la courbe que nous appellerons le point jj.; en combinant cette équation avec celle de In coni(|ue, on trouve M — jaR et fA’L = M pour les équations des droites qui joignent le point,!/, aux points MK et LM, et deux quelconques de cos trois équations déterminent un point de la conique.

L’é(|uation de la corde joignant deux points a et a' de la courbe sera

puisqu’elle est évidemment satisfaite par l’une ou l’autre des bypotbèses

(lAl.rr R, uR= M), (,ia'L- R. /a'R = M).

344 CHAPITRE XIT.

Si fj. ei fi' coïncideni, celle équation devienl celle de la Uiiigeiiie

w’L — 2 uR -H M = O,

qui renferme l’indélcrminée a au serond degré. Réciproquement, si l’équalion d’une droite (p.’L — 2 uU -i- M = o) renferme une indéterminée a au second degré, la droite qu’elle représente est constamment tangente à la conique LM = R’.