II. On change la direction des axes sans déplacer l’origine

Soieni(/ïg.6) Ox, 0/ les anciens axes; OV, OY les nouveaux; ÜQ = X et PQ=y'' les coordonnées du point P par rapport amuanciens axes; ON = X, PN=Y les nouvelles coordonn^^ Désignons par a et (3 les angles que OX et OY font respectivement avec l’ancien axe des x; par a' et les angles que ces droites font avec l’ancien axe des j. Si co est

l’angle yOx compris entre les anciens axes, nous aurons évidemment a -)-a' = o», puisque XOx-i- ^Cü r=*'0;'; et de même 3-h3' = w.

Fig. 6.

Nous obtiendrons facilement les formules de transformation en exprimant en fonction des anciennes et des nouvelles coordonnées les longueurs des perpendiculaires abaissées du point P sur les axes primitifs. Pour cela, menons à üx les perpendiculaires PM, NR, et la parallèle NS.

Nous avons

PM = PO sin ^QS!, ou

PM = rsin&).

Mais

PM = NR -t- PS = ON sin 5<OR -h PN sin PNS ;

donc

7'sinw = Xsina -i- Y'sinp.

Nous trouverions de même

ou

xsinr,) = Xsina'-f- YsinP', a:sinw= Xsin(fo — «) + Ysin(w — J3).

Dans la Jig. 6, les angles a, ^ et w sont tous mesurés du même côté de Ox; et les angles a', [3' et tous du même côté de Oj : si l'un de ces angles se trouvait de l’autre côté, on devrait lui donner le signe — . Si, par exemple, OY' se trouvait à gauche de 0^-, l’angle serait plus grand que w, et = ('ji — ^) serait négatif, et par suite le coefficient de Y ilans l’expression de xsinto le serait aussi; c’est ce qui arrive dans le cas suivant, qui sc présente assez souvent, et auquel nous consacrerons une figure spéciale.