CHAPITRE XIV
EXERCICE
Dans l'Exercice V du n“ 27J, on remplace les deux tangentes fixes par une conique ayant un double contact avec la conique donnée et passant par les deux points fixes : trouver lo lieu du sommet.
Soient
LM - R’ = O, LM sin’a — R’ = o,
les équations des deux coniques : la droite qui touche la dernière au point U, rencontre la première aux points tt tanp^i “CÆtif; d’ailleurs u' et u' étant les points fixes, les é(piations des deux cétés sont
uft'L tanj'yi — ( «' -t- U tanpy) R M — o, p/x'Lcot^ — (fl* -4- P col^j R -I- M = o„ et en éliminant p, on trouve, pour l'équation du fieu,
(M-p'R)(p*L-R) = tang’T(M-p"R)(p'L-H).
274. Le rapport anharmoniqne <lu faisceau obtenu en joignant un point quelconque u d'une conique à quatrif points fixes p', p", u", p” de cette conique est constant (259).
Les droites qui joignent les quatre points fixes p' , p",... de la conique à un cinquième point p ont pour équations
p'(uL — «)-+- (M — pR)=o, p"(pL — R)-t-(M-pR)=o, u"(pL — R)-(-(M — pR)- .o, p'*(pL-R)-i-{M-pR)= o;
ie rapport anhannonique du faisceau qu’elles forment ayant pour valeur (58)
est indépendant de la position du point p.
Nous appellerons, pour abréger, rapport anharmonique de quatre points d’une conique le rapport anharmonique du faisceau obtenu enjoignant ces quatre points à un point quelconque de la courbe.
275. Le rapport anharmonique des points suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant.
DKS 8KCTI0NS CONigUES. NOTATIONS ABBÉGÉES. 34<)
Supposons que les tangentes fixes soient celles des points n', fl", fl", fl", et quô la tangente mobile soit celle du point a. Le rapport anharmonique en question est le même que celui du faisceau formé en joignant les quatre points d’intersection au point LM. Mais les droites de ce faisceau ont pour équations
fi'fiL — M = o, fi"fih — M = o, u"aL — M = o, a'*uL — M=o,
et forment ainsi un système liontographique {59) avec celui du numéro précédent. Elles ont par conséquent même rapport anharmonique. Ainsi donc, le rapport anharmonique de quatre tangentes est le même que celui de leurs points de contact.
27(). L’expression du rapport anharmonique de quatre points d’une conique fi', u", fi", fi" (274) ne change pas lorsque tous ces points changent de signe; donc (-272) le rapport anharmonique (le quatre des points {a' , a", fi", p") déterminés sur une conique par quatre droites issues du point LM est égal au rapport anharmonique des quatre autres points ( — p' , — p" , — p", — p") déterminés par ces droites sur lu conique.
Pour la même raison, le rapport anharmonique de quatre points d'une conique est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants d’une autre conique. De plus, la valeur du rapport anharmonique (274) ne changeant |)as quand on y remplace p par u tang9, ou p cotaiig9 ; Lorsque deux coniques S et S' ont un double contact, le rapport anharmonique de quatre des points déterminés sur S par quatre tangentes à S' est égal au rapport anharmonique des quatre autres points déterminés par ces tangentes, ainsi qu'à celui des quatre points de contact sur S'. Ce dernier théorème est dû à M. Townsend.
277. Réciproquement, lorsque l’on donne trois cordes aa', hb', cc' d’une conique, l’enveloppe d’une quatrième corde dd' , telle que le rapport anharmonitfiie de abcd soit égal à celui de a' b' c'd', est une conique ayant double côntact avec la co-
r.llAPITRB XIV.
nique rlonnéc. SoiciU, en ellei, «, b, c, b', t' les valeurs (le fA pour les six points üxes, p. et p' celles relatives aux e\tr(‘init(“s de la corde mobile; l’équation
{a — b){c — p) In' — b')(c' — p')
{« — c)[b— p) ~~ (fl' - f' )(6'— p' )
pourra se mettre sous la forme
\pp'-h^p-i-Cp' -h D = O,
A, B, C et I) étant des constantes. En éliminant p' entre celte équation et celle de la corde
pp' L — ( fl -I- u' ) R -I- M = O,
il vient successivement
fl(Bu•4-l))L-l-R[;A{A,^l-t-C)-(Ba^-n)]-M(Au-^-C) = o, u’(BL+ AR)-t-f;.[l)L 4- (C — B) R — AM ] - ( DR -t- CM ) = o ;
par suite (’i/O), la corde mobile est constamment tangente à la coni(|ue
[DL-f-(C- B)R- AM]>-+-4(BL+ AR ( DR -i- CM ) o.
Cette é(|uation pouvant se mettre sous la forme
4( BC — AD ) ( LM — R> ) -t- [ DL -i- ( B + C ) R ^ AM ]= r o,
la conique ()u’elle représente a un double contact avec la conique donnée LM — R’--o.
Dans le cas particulier oi'i B ^ C, la relation qui existe entre p et p' devient
A pp.' -i- B( U -f- u' ) -4- I) = o,
et (51) exprime que la corde L — (a + u')R -f- M passe par un point fixe.
§ 111. — Des équations rapportées aux ci'ités d’un trianole
AUTOPOI.AIBE.
278. L’équation d’une coni(|ue rapportée aux ciités d’un triangle autopolaire étant (258)
DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ARREcEeS. 35 1
on iicut représenter un point de la courbe par une seule indéterminée ç. En posant /a = «70059, mj3 = «ysino, on a , comme aux n"‘ 102 , 231 , pour la corde qui joint deux points, 9 et 9', l'équation
/a cos ■■ (9 + 9'1 ««P sin^-(9 -4- 9' ) = «y cosi ( 9 — 9'),
qui devient, dans le cas de la tangente,
loL cos 9 -4- ni^ siii9 = «y.
Si, pour plus de symétrie, on représente la conique par lise' -(- bp’ -4- cy- = O,
la tangente en (a', P', y') sera, ainsi qu’on peut le voir en partant de l’équation précédente,
nxx' -4- bpp' -I- ryy' = o.
L’équation de lu polaire d’un point («', P', y' ) sera nécessairement de la même forme (80). Eu la comparant avec
f.x -4- up -4- vy = O,
on voit que le piMe de ci'tte dernière ligne a pour coordon-
nees -» et puisque le pôle d une tangente est situe sur
la courbe, la condition pour que la droite 7.x -4- uj3 -4- vy soit tangente à la conique peut s’écrire
Lorsque cette condition est remplie, la conique est évidemment tangente aux quatre droites 7.x dt jj.p dt yy , et les lignes de référence sont les diagonales du quadrilatère formé par ces droites (14-6, Ex. 111). On verrait de même que la condition ax’’ -4- l>P'^ + cy’’ = o exprime que la conique passe par les quatre points (a', ± (3', dtz y').
EXEUCICES.
I. Trouver le lieu du pùle d’une droite donnée /.» -h -t- vy par
