CHAPITRE XIV

ra|i|Mirt aux coni'jUM (las^ant par quatre (uints li\e:i ( i’, d: ± •/).

Héidxse.

ülïl 'tïl

n. Trouver le lieu du pôle d'une droite donnée i* -t- up -f- vy - o par rapport aux coniques tan^'entes aux quatre droites fixes Ix ± inp ± «y.

Répoxse.

Px /h’ 5 n’y

Le lieu des centres des coniques est donné par les mômes formules, puisque le centre est le pôle de la droite à l'infini

X sin A -e P sinB y sinC = o.

III. (Quelle est l'équation du cercle ayant le triangle de référence pour triangle autopolaire?

Réponse. sina A â’ sinaB y’ siniC = o ( 138, Ex. II).

II est facile de voir que le centre de ce cercle se trouve au point de concours des hauteurs du triangle, puisipic le carré du rayon est égal au rectangle construit sur les segments que ce cercle détermine sur une quelconque des hauteurs, rectangle qui a le signe ■+- lorsi]ue le triangle a un angle obtus, et le signe — dans le cas contraire. Dans ce dernier cas , le cercle est imaginaire.

270. La (léU’rminalion des propriétés des foyers est une des applications les plus reman|uables de l’écpialion qui fait l'objet de ce paragraphe, carsi x — o, y = o représentent les côtés d’un angle droit dont le sommet est au foyer, cl y la directrice, la conique a pour équation

qui n'est qu’un cas particulier de celle que nous éludions.

Il résulte de celle équation que les deux droites imaginaires x’ -h y’ = o sont des tangentes menées par le foyer, et puisque ces droites sont les memes quel que soit y, on voit que : Tontes les coniques qui ont un nu‘me foyer ont deux tan/’entes imaginaires communes passant par ce foyer. Donc: Toutes les coniques komofocales ont quatre tangentes imaginaires communes et peuvent être considérées comme inscrites dans le

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIO.NS ABHËCCES. H53

ni^nie qiiadrilatère. Les laiigenles imaginaires (x’ 4-' >•’ = o) menées par le foyer se confoii<leiil avec les droiles (|iii le joignent aux deux points d’un eerele, imaginaires et situés à l’inl’ini (2.’>7 ). De là une conception générale des foyers ; .SV par chacun des deux points d'nn cercle, imaginaires et situés à l’in/ini, on mène des tangentes à une conique, on forme un quadrilatère ayant deux sommets réels et deux sommets imaginaires ; les premiers cotncidenl avec les foyers de la conique, les seconds peuvent être considérés comme les foters imaginaires de la courbe.

liXERCICE.

Di’lcrmlner les foyers de la coni<|uo représentée par réf|iialion générale.

Il suffit, (luur cette détermination, d'exprimer (|oe la droite J- — jr' -I- ( .> — \ — 1

est tangente à la courbe. En remplaçant, dans la formule du n" l.'if, >, pet V res[»ertivement par i, i) — (ar'-i-,r y'— i)î et en égalant séparément à zéro les expres.sions réelle et imaginaire , on voit que les foyers sont déterminés par l'intersection des deux hyperboles

r.(a‘ — y’) ■+■ 2F y — 2ÜX -t- — B ^ O , C-ri — Far — 0 1 -f- H = o,

qui sont équilatères et concenlri(|ues à la conique donnée. En niellant leurs équations sous la forme

(C.J - G)' - (Cy — F)’ = G’— AC - F= -1- BC = A(« - b),

(C.r — G ) [C> — F) = FG — CH = àli ,

on trouve, pour les coordonnées x,r du foyer,

fC.r — G)’ = yA ( R n — é), (Cy — F)’ = jA( K -t- A — ir),

en conservantà R cl A les significations indiquéesaiix n™ lof et 157, Ex. III.

Lorsque la conique est une parabole, on a C = o, les équations ci-dessus se réduisent au premier degré, et il vient

(F’o- G’).r= Fil ^ ; (A - B)G, ( F’ G’)y = GH -l- ( ( B - A) F.

280. Les tangentes menées par (/, x) à la courbe sont évidemment ey -1- xetey — x; dans le cas de la parabole, où e= I, elles forment les bissectrices intérieure et extérieure

L'HAPITKE XIV.

de l’angle (i'-y). Donc: Les tangentes menées à la parahole par un point de la directrice se coupent à an^te droit.

En général, on peut prendre .r = ey cos 9, v ^ ey sin o, et l'on a

(p est donc l’angle que le rayon vecteur issu du foyer fait avec l’axe des x. Cette remarque permet de trouver l’enveloppe d’une corde vue du foyer sous un angle constant; en ell'et la corde passant par les deux points o et 9' a pour équation

Æ-cüsJ'9 + 9') +ysinï(9 -4- 9', = ey cos'Jp — 9'),

et comme 9 — 9' est constant, elle est constamment tangente à la conique

J.1 <?’y’cos=j(9 — 9').

qui a même foyer et même directrice que la conique donnée.

281. L’éipiation de la droite qui joint le foyer à l’intersection de deux tangentes s’oliiieui en retranchant l’une de l’autre les équations

Æ'COS9 -r.rsiU9 — ey~ o,

X cos9'-l- rsin9'— cy = O,

ce qui donne

xsin 1(9 -4- 9' ) — ,r'COS-; { 9 -4- 9') r— o;

cette droite, faisant un angle ',{9-4- 9') avec l’axe des x, est par conséquent la hissectrice de l’angle formé par les rayons vecteurs allant du foyer aux points de coiitact 9 et 9'.

I.,a droite qui joint au foyer le point où la corde de contact rencontre la directrice a pour équation

•T cos{ ( 94-9') -i-.rsini(9 -4- 9') = o;

elle est perpendiculaire à la précédente.

Iroin'er le lieu de l'intersection des tan<^entes dont la corde de contact est vue du forer sous un angle donné ad.