CHAPITRE XIV

données x' + x" \J — i, y' \J — i , elle, l'esl éj^alemenl par x' — x" y' — '< y' — y" 'j — t ■ d'ailleurs la droite qui joint ces points est réelle. Les quatre points imaginaires communs aux (leux coniques sont donc [x' ± x"y — i , y' ±y" i ), (x"±;.r”v^— I, r"'±.v”\ — i) : et il y a deux cordes ^ communes réelles et quatre imaginaires. Ces (lerni('*res, ayant des équaiions de la forme L±My/ — i, L' ± M' \ — i, se coupent en des poinis réels LM, L'M'. Les sommets du triangle autopolaire EFO sont donc tous réels.

Lorsque les coniques se coupent en deux points réels et deux points imaginaires, deux des cordes communes sont réelles (ce sont celles qui joignent les deux poinis réels ou les deux points imaginaires) et quatre imaginaires. Chacune de ces dernières passant par un des points réels ne peut avoir un deuxième point réel. -Par suite, un des trois poinis E, F, O est réel, les deux autres sont imaginaires; le triangle aulopolain* a donc alors un de ses côtés réel et deux imaginaires.

KXHRCICES.

1. Un triangle est tangent à une conique S, deux de ses sommets glissent sur une conique S' : trouver fe lieu diTrit par le troisième sommet.

Soient x’ -+- y-’ — i’ = o l'équnlion de S, «.i-’ + èr’ — cz’= o celle do S’. Les coordonnées de l'inlerseclion des tangentes en a et 7 à S sont (102, Füx. 1) cos|(*-(-7), sinita-ey), cos;(* — 7) : les conditions du problème donnent la relation

rt cos’) (a 7) -e è sin’)(a -t- 7) = ccos’) (a —7), ou

-I- i — c) -I- (« — è — I-) cosacosy -+- (è - c — n) sina siny = o. On aurait de même

(fl 4- 4 f) (rt — è — c) cos6 cosy -e (è — c — «) sinp siny - n ; d'où

(a-^-b — c) C08)(a -t- = (é f - (7)cosl(a — P) cosy,

(n -+- i — r) sin)(a -t- P) = (n -4- r — 6) cos;(a — P) siny;

UKS SKCriONS CONIQUES. NOTATIONS AIIRfiOtES. 357

et |iuis(|ue le [loiiil tlunl on cherche le lieu a |>our coordonnées

coSj(a-Hf), sin j(x -i- Jô i , cüsi(ï — S),

I équation du lieii sera

[1/ T- <■ — fiÿ "*" ( c -e rt — hy (n h — ri'

Cette solution est due à M. Burnside.

II. Un triangle est inscrit dans une eonii)ue - = s'; deuN de ses

céiés sont tangents à la conique «./’ -e // c’ — cz' ; trouver renvelo[ipe du troisième côté.

{cft -I- iib — hr)- .v' -i- [nh br — c«j' ) • {bc -i- en — iibyz^,

§ l\ . — Des COURBES ENVELOPPES.

Î28.3. Lorsque ré(|iiation d’une droite renferme une indéterminée U d’un ilegré quelconque, à une série de valeurs de fj. correspond une série de droites toutes tangentes à une certaine courlie, qu’on appelle courbe enveloppe (ou enveloppe) du système formé par ces droites, .\itisi la droite p} L — R 4 M , oit P est indéterminé, est conslammenl tangente à la courbe LM — R’ (270). La démonstration directe de ce théorème suffira pour indii|uer la méthode générale à suivre dans la détermination des courbes enveloppes.

Les deux droites corres[iondant aux deux valeurs p et p k de l'indéterminée ont pour é(|uatioiis

/n’ L — 2 ^ R -I- M = O. ( 'jt -t- /i )' L — 2 f p. -t- A ) R -1- M = O,

et leur point d’intersection sera déterminé par les conditions

ft’ L — 2 U R -I- M O, 2 ( 2 L — R ) -t- A L = o,

qui ne sont autre chose que l’équation cle la première droite, et le résultat qu’on obtient en divisant |iar A la différence entre les équations des ileux droites.

Ces deux ilroites sont d’autant plus voisines que A est filus petit. Lorsque A devient nul, elles sotit consécutives dans

CIUHITRF. XIV.

lo svstèinc et se cou|u“nt on un point dclerniiné par les équations

u’ L — ap. U -t- M — O, U r. — K = n, ou, ce qui revient au même, par les suivantes : a L — K -= O, p. K — M = O.

Mais un point d’une courbe jieul être considéré comme l’inlorscclion de deux tanf>enlcs consécutives à cette courbe (14-7); l'interscciiou des deux droites consécutives appartient donc à l’enveloppe, dont ré(|iiation s’obtient, par suite, en éliminant rindéterininée p. entre les équations précédentes, ce (|ui donne