LM - H

L’enveloppe delà droite I. cos^ 4- M sin 9 — K , où 9 esi indéterminé, peut se trouver directement de la même manière, ou bien se déduire du résultat pri'cédenl en posant

tang;ç)-— p;

car alors on a

cosa, — -1 sino = —

et l’équation proposée se ramène à la forme p.’(L- H)-+-2p.M 4-(L- H), où P entre au seconil degré.

284. On pourrait encore arriver au même résultat de la manière suivante. La droite

est évidemment tangente à une courbe de la xcconür cinssi- (Note du n" 14.")), puis(|ue, par un point donné, on ne peut

DES SEOTIOKS CONIQUES. NOTATIONS AIIHËCÉES.

mener que deux droites du système, celles définies par les valeurs de u tirées de l’équation

UM/— 9.ulV-h M'— O,

dans laquelle L', R' et M' expriment ce que deviennent L, R et M lorsqu’on y remplace les coordonnées courantes par celles du point donné. D’ailleurs les valeurs de u. sont égales, et ce point est l'intersection de deux tangentes consécutives lorsque ses eoordonnées satisfont à la relation I.M = R’. Plus généralement, lorsqu’une indéterminée (Acntrcalgéliriquement au degré n dans l’équation d’une droite, celte ligne est tangente à une courbe de la classe dont l’équalion s’obiieiii en exprimant (|iie l’équation en u a des racines égales.

EXEIICICES.

I. Les sommets d’un triangle glissent sur trois droites fixes a, 7. tandis que deux de ses côtés passent par deux points fixes (a', 7') et

(a", S', 7') : trouver renvcloppo du troisième côté.

Soit a-t-(Afl= O l’équation de la droite joignant (a, p) au sommet qui glisse sur 7, celles des côtés passant i>ar les points fixes seront alors

7(* ~ V ("a’ "t" ft '/’l X -h u6 j — 7! a' -H UL&') = o,

et on aura, pour le troisième côté,

(a ' -H fi^')7"a (a’s- aâ") u-/fi — (x‘ -h a S’) (a' -H a^')7 -= o,

puisqu'il passe par rintersection du premier avec a cl du second avec En ordonnant, suivant les puissances de u, on trouve, pour renvelop[K',

(afi'7’-

On pourrait aussi résoudre ce (irobléme, en ordonnant suivant les puissances de « l'équation trouvée au n" .'iO, Ex. III.

11. Trouver l'enveloppe d'une droite telle, que le produit de ses distances à deux points li.xes soit constant ( = /é).

Prenons pour axes la droite qui joint les points fixes et la per|M>i\diculaire élevée en son milieu ; les coordonnées de ces points seront r = o, X = rfc c ; d'ailleurs y — //i.c -h n := o représenUtnl la droite mobile, on aura, pour exprimer les conditions du problème,

/ne) (h — me] -■ -h

niAPITRE XIV.

«Il

inuis

donc

— b‘ — c‘) — un TJ- H- )' — A’ ci;

|iar suite, ren\Hü|)j)c a pour équation

jr’ i ’ . — A' — c') ( i ’ — b')

ou liini

III. Trouver renvelop|ve d'une droite telle, i]ue la somme (A') de.s carrés de ses di.stances i deux points fixes (<>, ± c) soit constante.

UÉPONSK.

IV. Trouver rpnxeloppe d'une droite telle, que la différence des carrés de ses dislances à deux points li.xes soit constante.

Hei-üsse. Une parabole.

V. I*ar un |ioinl fixeO, on mène une droite OP qui rencontre en P une droite fixe ,\P trouver l'enveloppe do la droite PQ faisant avec PO un anple OPQ constant (= 90" — ^).

tsoient 0.\ = /r, et 00 les perpendiculaires abaissées du point O sur les droites AP et 1\). et les angles .\OP et POQ faits par OP avec 0.\ et (>0, on aura

OP -- !> sécO, (»0 = !> sécO cos^.

Si l'on prend OA pour axe des .c, t.» |M)ur origine, l'équation de IX} sera

.c cosi 1 -t- J5) I siiil 0 -t- 6 ) ; !> sécO cosft,

Æ- cos(-JiA -e.r sin {9O + ft) = -ip cosf> — .r cosf. — .r sint, c’est-à-dire de la forme