Py’ — 2 h yP -4- CP’jfjt' = O

36î CDAPITRE XIV.

ce qui donne pour l’enveloppe

( Ay»— î('i-/a -f- Ca‘)(By=— aFy^ -f-CÔ’)

= (H y’ — Fy a — (iy S -4- Ca3)’; en développanl et divisant par y\ il vient

(BC — F’)2=+ (CA — G=);3>-4- ( AB - Il')y’

+ 2(GH — AF)3y -4- 2( IIF — BG )y2 ■+- t. ( FG — CH )ajà = o,

équation d’une conique.

On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante :

t ne équrttion laiij'enlielle du second def'ré en p. et v représente une conique dont l’èquntion en coordonnées trilinéaires se déduit île l'équntion tan^entieUe, en employant le même procédé que pour passer de l'équation en coordonnées tritinéaires à celle en coordonnées tangentielles.

On peut voir, en elVet, comme au n° 151, (|ue la condition pour que /a -t- uj3 -4- vy soit tangente à

«a-’-t- cy’ -H 2 fpy ■+- agya 2/»a(î = o

est exprimée par l'équation

( bc — -4- { frt — -I- ( ab — /j’)v’

-4- 2(g-/i — af)av ■+■ 7-ilif— ètf )vÀ -t- 7.[fg — ch )/.a = o,

qui n’est autre chose que l’équation tangentielle de la conique.

Béciproquement, la conique /ia'-4-.-. = n est l’enveloppe de la ligne dont les coefficients /, u, v satisfont à la cunditiun précédente. Car si, dans l'i'quation

(BC— F’)a’ + ... = o

donnée plus haut, on remplace A, B,... \)ar bc —f' , ca — g'

elle devient

( abc -4- ‘>-fgh — af'' — bg‘‘ — dê )

X («a’-4- è3’-t- cy’-H + 2g^yai -l- 2Aaj3) = “•

UES SECrlOSS COMyl'ES. NOTATIOXS ABKÈGÉK8.

EXKUCICES.

I. On peut liéiluire, comme cas particulier de ce qui précédé, les théorèmes des n‘* 1^7 et 130, c'est-à-dire que les lignes qui ^atisfo(lt aux conditions

--*-—-4 — = O, * -t- V G» -e VHv ^ O

ont respectivement [lour enveloppes

H- l'U? H- pIT/ ”•

II. Trouver la condition pour que la droite i* uji -t- i-/ rencontre la coni(|ue représentée p.ir l’équation générale en deux points réels.

Réponse. Celte droite rencontre la conique en des points réels ou imaginaires, suivant que la quantité (//c — négative ou positive; elle est tangente lorsque celte quantité s’annule.

III. A quelle condition les tangentes menées par le point (a', y')

sont elles réelles?

Réponse. Ces langenU's sont réelles lorsque la quantité |BC — FMa”-t-...

est négative; autrement dit, lorsque les quantités

nhc et « a’’ -1- AS’’ -t- . . .

sont de signes contraires. Les tangentes sont Imaginaires, ou, ce ipii revient au même, le point (a', ft', 7') est à l'intérieur de la conique lorsipie ces quantités sont de même signe.

28G. On dcrminlrcrail, comme an n" "G, que la rondilioii ABC 2FC.ll — A F= - BG*— CH’= o

exprime que ré;quation

A)’ -H Bu’ -+- Cp’ ■+ 2 F up -t- 2.Gp/. 2 II?. U ; - O

peut se décomposer en deux facteurs cl se mettre sous la forme

( a' ? -I- j3' ju -I- y' P ) ( a" ? -t- U -+- y" P ) = O.