I.es cordes de contact de la conique avec les cercles

sont parallèles cl situées à égale distance de l’axe radical des deux cercles.

En mettant l’équation do la conique sous la forme

v^C±v/C'= v'fjt,

CHAPITHt XIV.

Jfi6

on voil que • Le Heu d'un point tel que la somme {ou la dijft''rence) des tan fientes menées de ce point à deux cercles soit constante, est une conique ayant un double contact avec les deux cercles.

En supposant les deux ceirles iiirmiineni petits, on déduit de là la propriété fondamentale des foyers d'une conique.

Lorsqu'on prend y. égal au carré du segment déterminé par les cercles sur une de leurs tangentes communes, l'équation représente deux de ces tangentes communes.

EXIÎRCICES.

I. Trouver, d'a|»rè^ ce qui précède, les tangentes coininiinos aux cercles indiqués aux Exercices des n°’ 1 Et et 1 1 f.

IlÉroNsK.

i" v'C -I- v'C' - 4^ VÎ-

a” lÆ -t- ^C' I , t^C -t- \IC' = ^ — 7<).

II. On donne trois cercles C, C' et C : 1. et L' sont les tangentes communes à C', C; M et M' à C", C; N et N' à C, C; si I., M cl N passent

par un même point, 1/. M' et N' passent aussi par un même point {,•).

Soient

i/îy -I- VC* = !. t/C" -e \ 'C=: +- \/C l"

les équations des couples de tangentes communes. La condition pour que 1., M ut N passent par un même point est /' ± / = /'; lorsqu’elle est iém|)lie, I.’, M' et N' passent aussi par un même (wiiil.

III. Les trois cordes communes, non concourantes, de trois coniques ayant un double contact avec une quatrième conique déterminent sur les

(*} O U Hé employa par M. SUùnoi* pour la (iolutioii Hti problt'me do

Malfalli : Inscrire dans un triangle trois cercles tan-'ents entre et successif cernent à tIt iLX des cotes de ce trianfite^ solution «|U*iI fornmlo do la ninnière suivaiito : Inscrire un rorcle dan» ohactin do» trUn:>l<^ formo» par un cAto, et les btssootrires dos an<',los adjaoont» du trlanijlo donno; tr<us do» tan[;ont«'» coinmuno» à ros corde» so toiipant on un mémo jMÛnt, Il on osl do mémo dos Irois autres qui sont cominunos aux «'orolos oherdni*. M. Hart a donnô une dt*inonstrntion gt'omotriquo do cotte sululiun dans lo Qnnrterh Jourtml of Mathentatics^ t. 1, p. 319. Otto »idutioii pout s’oti'ndro au ras où l'on romplnoc los rorolo» par do» roiiiquir» ayant un douldo contact une conique donnèo.

DBS SECTIONS CONIQCES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 3(>7

trois premières six points qui .ipparlionnenl à une conique. Dans le cas particulier où trois de ces points sont en lij;ne ilroite, il en est de même des trois autres.

Soient

S — L’ = O, S — M' = O, S — N' = O les trois coniques, les cordes communes sont représentées par L -1- M , M ^ N, N -e L,

et l'équation

S -H MN - NI. - LM = (S - L) +- (1. M) ( L -e N)

démontre le tliéoreme.

§ V. — Equation gënékaie nu second degré.

289. Il est toujours possible de représenter une conique par une équation de la forme

rta’-t- 6 jj'-i- -f- 2/(3y -+■ -H a/ta (3 = o.

En effet, celle équation est du second degré, el renferme cinq paramétres arbitraires, qu’on peut déterminer de manière que la courbe qu'elle définit passe par cinq points donnes, el co'incide, par suite, avec une conique donnée. Celle équation suppose les coordonnées trilinéaircs; mais on en déduit facilement l’équation en coordonnées cartésiennes en V remplaçant a, (3 para-, >% el en v faisant y = i, ce qui revient a supposer la droite y à l’inlini ((i9-7G, Note).

On peut toujours de même représenter une courbe de degré n par une fonction homogène du même degré en a. (3ely, car il est facile de voir que l'équation coiiipli’Ie de degré n entre deux variables, et ré(|ualion homogène de même degré entre trois variables ont le même nombre de termes, et peuvent, par suite, être assujetties au même nombre de conditions.