CHAPITRE XIV

on obtiendra les roordonnéos des points où retle droite renrontre une courbe, en subsiituani ces valeurs aux coordonnées courantes a, p et y dans ré(|uation de la courbe, et en /

deterniinant le rapport — au inojen de la relation déduite de

cette substitution (‘). Ainsi (!)2), les points où cette droite rencontre une conique sont donnés par

/■ («a'' -h cy’’’ ■+- 1 f^'y' -+- igy' oc' -h ^ h x' fi')

-H ?.lm[>ix'x"-h hâ'3"-^ry'y"-^ /(P'y'-+ .i"'/) ■

-t- «i’( cy"^+ 2. fp"y -i- xjry" a" ^ a/ia'jâ") = o,

équation du second degré que nous pouvons écrire, pour abréger,

/’S'-t- xImV ni'S"= o.

Lorsque le point (a', y') est sur la courbe, on a S'= o,

et l'équation se rédtiit au premier degré. En la résolvant par rapport à l‘.nt, on trouve

S'a'- S" (3'- a P (3", S"y'- aPy'

pour les coordonnées de l’intersection de la conique avec la droite qui joint (a", j3", y") au point (a', j3', y') pris sur celte conique. Elles se réduisent à x',p',y' (|uand P ■= o. Lors donc que a", p* et y" satisfont à la relation

axx'+ h'fi'^'^cyy' / -h (3' y )

cette droite rencontre la courbe en deux points qui coïncident en (a', P', y'); autrement dit le point (a", “fi", y") est situé sur la tangente en ( a', (3', y'), quia pour équation P = o.

291. La symétrie de cette équation en a, y; a', y' montre (89) que, dans le cas où (a', (3', y') ne se trouve pas sur la courbe, elle représente la polaire de ce point. On peut

(*) ('^tte méthode eut duc a Joar.himRthal.

bus SECTIONS COMyiKS. NOTATIONS ADRËGËES. Sfk)

aussi observer (91) que I* = o exprime que la droite juigiiaiii (a', |3', /) à (a", j3", y") est divisée liarmoniqucment par la courbe.

L’équation de la polaire peut aussi s’écrire :

a’(«a-+-//P-h^,-y)-4-;3'(/ia-(-ip+/y)-H’/(ga-f-/;3-f-cy)= o;

les facteurs de a', [3', y' sont respeclivemeiil proportionnels aux coefficients différentiels de l’éqnation de la conique pris successivement par rapport à a, (3, y. Si l'on pose, pour abrég«'r,

</S . i/S (IS

®'“i/a' ^"~dy

on a pour la polaire

a' Si + P' s, -i- y'Sj = o.

Lorsque j3' et y' sont nuis, celle équation se réduit à S, - o. Donc la polaire de l’inlerseclion de deux des lignes de référence a pour équation la dérivée de l’équation de la conique, prise par rapport à la troisième.

L'équation de la polaire étant sjinétrique en a, (3, y et a', y' peut aussi se mettre sous la forme

aS', j3S'j 4- yS'j =: o

(S', désignant, suivant l’usage, ce que devient S, lorsqu’on y remplace a, [3, y par a', |3', y').

292. Lorsqu’une coni(|uo se réduit à deux droites, la polaire d’un point quelconque passe par l’intersection de ces droites ; cl il est facile de voir géométriquement que celte polaire forme avec les deux droites et la ligne qui joint le point donné à leur intersection un faisceau harmonique. En effet, le rayon vecteur mené par le point est divisé harmoniquement par la conique, c’est-à-dire les deux droites, et la polaire. On peut aussi le voir en parlant des formules du numéro précédent : la polaire de (a', ^') par rapport aux deux droites a et (3 ayant pour équation (3' a -I- a' (3 = o a pour conjuguée harmonique P'a — a' (3, c’est-à-dire la droite qui joint (a', ^') à (a, (3).