CHAPITRE XIV

Lorsque l'équation générale représente deux droites, les polaires des trois points { j3, y), {y, a ). ( a, p ),

rta (3 4- ^'7 = O, // a -I- -+- /"y = O. g-a -f- cy = o,

passent par un même point. Si l’on élimine ot, P et y entre ees trois équations pour exprimi'r (n°38) que ces droites sont concourantes, on trouve la condition pour que l’équation générale représente deux droites. Cette condition, à laquelle nous sommes déjà arrivés par d’autres méthodes, peut s’écrire sous forme de déterminant ;

ou, en développant.

abc -+- "ifgh — n/’ — bg^ — c/i' = o.

Nous désignerons dorénavant par A le premier membre de cette équation, qu’on appelle le tUscriminnnt (’) de l’équation de la conique.

iOll. Trouver les coordonnées a', )>', y du pôle d’une droite I3. ■+- !a{3 + vy par rapport à la conique représentée par l’équation générale.

On a, en se reportant au n° 291, les équations a X -i- b -h gy' =1, Il x' b -hfy' = jj., ga' -k- cy' = v,

(") En général, on nomme discriminant d’une function homogène de plii-> sieur» variables le pi’cniier membre do l’équation qui rÔMilto de réliininatioii de oea variable» entre le» e«(uationB que l’on oMient en égalant à zéro les dé* rivt'e» du premier ordre do 1a fonction propoMT, prtacs suoceMivemenI pur rapport à chacune de variable». Ainsi, par exemple, la condition pour qu’une équation algébrique S{x) ait des racines égales, est le discriminant dt' cette équation. Car, apri*» avoir rt'ndu cette i^uatioii homogène, par l’introduelion d’une deuxième variabloT’, cette condition s’obtient en éliminant x dS dS

et y entre ~ = o et — o. ( foir les Leçons d'.^/g^hre supérieure , par

Cl. Salmon ; huitième let^Mtn de la traduction fram;aise. Paris; libraire (iauthier- Villars.)

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRtiitES. 3-] l

4jui, résolues par rapport à a', 3', ■/', donnent

Aa' = ).( bc - /») -hfJ-ifii —c/i) + 'j(hf — bf;),

A(3' = lifg- ch) + g[ca - g’) -f- y(g/i — «/), ày' — \{hf — bg) -4- u.[gh — «/) + V {ab — /i’ ).

Si l’on emploie les lettres A , B, C . . . ( * ) dans le sens indi(|ué au n" 151, on voit que les coordonnées du pôle sont respectivement proportionnelles aux quantités

AA -I- II U. -f- («V, II À B y. •+- Fv, GA -t- Fy C;/.

Le pôle de la tangente à une conique étant im point de cette tangente, on trouvera la condition pour que la droite Aa -4- y(3 -I- y/ soit tangente à la conique, en exprimant (jiie les coordonnées qu’on vient d’obtenir satisfont à la relation

Aa -4- yJ3 -4- y/ -- o.

On trouve ainsi, comme au n° 285,

A A’ -4- B y.’ -4- C v’ -t- 3 F yv -4- a G !/A -I- 2 H Ay. = O.

En écrivant cette éi|uation sous la forme - =^o, on voit que les coordonnées du pôle sont les dérivées li, Aj de 1 prises successivement par rapport à A, y et Ainsi, de môme que la polaire d’un point a pour équation

aS', -I- pS’, -4- yS\ = O,

de meme la condition pour que la droite Aa -h -hvy passe jMir le pôle de A'a -t- y'p -4- v'y (ou, en d’autres termes, l’équation tangentielle de ce pôle) peut s’écrire

Ai’, -4-yr, +v2', = o;

par suite, la condition pour que deux droites Aa -t- y^-4-vy, A'a -f- y' (3 4- y'*/ soient conjuguées par rapporta la conique, c’est-à-dire que le pôle de l’une se trouve sur l’autre, peut

(*) A, B, C, ... font les dëterminmMts minetirs du déiurminiint indiqué au n» 292.