DES SECTIONS COMBLES. NOTATIONS ABRÉGÉES
en faisant, pour abréger, ■
S = rta’+ . . . , —ax'’-h hâ’'-*- . . . , P = «aa'-I- ..
ün peut encore mettre cette éijiiatiun sous une autre forme en observant que la droite qui joint à («', j3', y') un point (a", (j", y") de la tangente menée par (a', y'), est tangente
à la courbe. Il suffit, après avoir exprimé que la droite
o^iP'V" - 15"’/) + ?(y'a‘' - y" a') -4- -/(a'?" ■
qui passe par ces deux points (05), est tangente à la courbe, d’y considérer a", (3", y" comme coordonnées courantes; ce qui revient, en d’autres termes, à renqilacer dans la condition
A/.’ -+- -t- Cv- -t- 2 Fftv -H aGvÀ -i- 2 ll>.u = o,
indiquée au n°285,>., ,uetv par py'— j3'y, a'y— y'a, a)3'— a'(3.
L’équation du couple de tangentes, obtenue de cette manière, ne diffère pas, au fond, de celle qui a été donnée plus haut; en se reportant, en effet, aux valeurs de A, B, C, . . . du n" 285, il est facile de voir qu’on a la relation
(«a’ -t- A|3’ + . . . ) { rta'^ -4- -f- . ■ . ) — (<iaa'
EXKRCICK.
Trouver le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la coniqno donniN! par l’équation générale, (forr n° HiO, Ex. IV.)
L’équation du couple des tangentes menées par un point ( 117) peut se mettre .sous la forme
A f r — y')’-t- B(.r— x’)’+ C(xr' — .ix')’
— 2K(x — x') (x )•' — rx')
H- aG(.r — x') (xy' — j:'> ) — 2H(.r — x') (v — >•')= o,
et représente deux droites perpendiculaires lorsque la somme des coefficients de x’ et dey’ est nulle. Le lieu cherclié, qui a pour équation
C(x’ -Hy’ ) — 2ÜX — 2 F.» -t- A -t- B = o,
est le cercle directeur de la conique. Lorsque cette conicpie est une para-
37(5 r.HAlMTRF. XIV.
boli', on il C = O. i‘t le lieu se réduil à lu tlroile
qui est la directrice de cette paralKile.
205. 11 résulte de ce qui précède que les couples de tangentes menés par (p, /), (y, 2), ( a, ^ ) ont respectivement pour équations
By' -+- tlj3' — i FJïy -- o. Oa’ \y’ — >.(iy2 o,
comme on peut du reste le voir directement, en mettant l’équation de la courbe sous la forme
( oa -t- /( -4- g-y ]' -t- ( C -I- B y- — 2 F |3y ) o.
Si P — / y, P — /l'y représentent les deux tangentes menées
par (p, y), on a, d’après les équations précédentes, hh' — jr;
on a de même pour les expressions correspondantes relatives
aux autres couples de tangentes, g; et le produit de ces
trois (|uaiitités est égal à l'unité. On voit donc, en se reportant à la signirication de la constante h (\\\), que si A, B, C, D, E, F sont les sommets d’un hexagone circonscrit, on a la relation
sin EAB sin FAB . sin FBC .sin DBC, sin DCA . sin EFA
si II E AO .sin F.Vtj.sin FBA .sin DB.V . sinDOB .siii FCB
Lorsque les éipiations de trois couples de droites peuvent se mettre sous la forme
M>+ N’-+- 2/'MN = o, N’-e L> -4-2 -'NL.-=o,
L> -(- M» 2 //' LM ^ o.
les droites qui les composent sont tangentes à une même conique, puisque les équations trouvées plus haut pour les trois couples de tangentes se ramènent à cette forme quand 011 y remplace x par L y A, P par M y'B
DES SECTIO^S CONIQUES. NOTATIONS ABRÉCÉES. 3~’]
296. Lorsqu’on vent former les éciualions des droites qui joignent un point (a, (3‘, y') à tous les points d'intersection de deux courbes, il suflit de remplacer dans les équations de ces courbes les coordonnées courantes a, (3, y par la. -t- ma', /p -4- /y -1- my' et d’éliminer / : m entre les équations
résultantes. Un point quelconque de ces droites jouit en cIVet de cette propriété, que la ligne qui le joint à (a', y') ren-
contre. les deux courbes en un même point; par suite les équations en / ; m qui déterminent les points où l’une de ces lignes rencontre les courbes, ont une racine commune : les coordonnées de ce point satisfont donc au résultat de l’élimination.
Ainsi les deux droites qui joignent (a, y') aux points
oii la droite L rencontre la conique S ont pour équation
L’’S— 9. LL' P -t- L’S' = o,
1/ et S' étant ce que deviennent L et S quand on y remplace a, [3, y par jt'j j3', y'. Lorsque le point (a', {3', y') est sur la courbe, l’équation se réduit à
L'S - >.LP=:o.
K.XliltClCE.
Dans une conique, les cordes vues sous un angle droit d’un point de la courbe passent par un point fixe (Ifil, Ex. II).
Prenons des coordonnées rectangulaires et formons, comme ei-dessus, l'équation des droites qui joignent le (wint donné (.r', y') aux intersections de la conique h y' -i- . . . avec la droite "ix ■+- jiy v. Pour
([ue ces droites soient perpendiculaires, il faut que la somme des carrés des cor'fficients de x‘‘ et de soit nulle, ce qui donne
oy' -i- v)(rt A) = a(rtXjr'-+- éu.v').
Les quantités /. «, v n’entrent dans cette équation qu'au premier de-
