DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABKÉGËES

loppe une conique. Ainsi la polaire d’un point fixe par rapport à une conique ayant un double contact avec deux coniques fixes, enveloppe une conique, puisque l’équation de chacun des systèmes de coniques indiquées au n" 287 renferme l’indéterminée (t. au second degré.

Nous terminerons ce Chapitre par l’exposé de quel(|ues problèmes dont on peut baser la solution sur les principes qui viennent d’être exposés, nous réservant de développer dans un Chapitre ultérieur certaines propriétés de l’équation générale du second degré.

I. Trouver le lieu de l’intersoction des polaires par rapporta deux coniques fixes d’un point (jui glisse sur une droite fixe.

Soient P' cl P", y'et 0" les polaires de deux points {a', p', */’), (a”, f»”, y”) de la droite fixe par rapport aux deux coniques. Les coordonnées d’un autre point de la droite sont Âa'-r- ua', pfi’, -t- f*y", et scs polaires >P'-i- pP", ÀQ'-t- uC*' se coupent sur la conique P'Q’ = P'Q’.

II. Le rapport anliarnionique de quatre points en ligne droite est égal à celui do leurs quatre polaires.

En eflet, le rapport anliarinonique des quatre points

U'-h /'a-r- ///'a”, l"x’+ /«"a", /’a'-i- m"a* est évidemment le même que celui des quatre droites

/P'^- wP", /'P'.+- w'P', /”P'^ /«"P, /"P'-r- «rP".

III. Trouver l’équation des deux tangentes menées à la conique S aux points où elle est coupée par la droite y.

La polaire d'un point (a', p') de y a pour équation (291 )

D'ailleurs, en faisant y = o dans l'équation générale, on trouve, pour déterminer les points où y rencontre lu courbe,

(Ta" -+- a /; x'p' -t- bp'* = o.

Éliminant a' et P‘ entre ces deux équations, on trouve, pour les deux tangentes,

«SJ — .2//S|S, ■+■ bS] — o.

CHAPITIil! XIV.

Si la liroilp 7 s’éloiïnc à l’infini cl se lran>forine dans la droite s, l'f-quation préciMenle roprésmle les asymptotes en coordonnées cartésiennes et devient

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<19> flA

IV. Une de.s asymptotes d'une conique circonscrite à un triangle passe par un point fixe, l'autre asymptote enveloppe une conique inscrite dans ce triangle.

Prenons le triangle pour triangle do référence. Soient r, les asymptotes et (IX -H hp -H ry la ligne à l’infini, la conique aura jiour ixjuation

cy)’;

et, comme elle passe jiar les points (S, y\ (y, *), (a, p), celte éipiation ne devra contenir aucun terme en a% V, y’; si donc t, est représentée

par IX -t- itp -t- vy, le sera par a -1 p -1 — - y ; et si r, passe par

(*’, p\ y'), ^1 sera tangente à la conique «y/aa'-i- byfp,p' -1- ry^yy' = o (2S.fi, K\.) inscrite dans le Irian.gle. On prouverait do la mémo manière que, si l’iine des cordes d’intersection d une coniquo circonscrite à un triangle avec une autre conique définie i>ar rèqiialion générale est représentée par \x -t- up -+- vy = O, l’autre corde a pour é(|uation

V. Des coniques ont même triangle autopolaire, l’une des cordes d’intersection d'une de ces coniques avec um* conique fixe (donnée par l’équation générale) passe par un point fixe, l’autre corde enveloppe une conique (M. Biirnsidel.

En prenant le triangle autopolaire |>our triangle de référence, les termes en xp, f.y, yx itispaniissent de l'équation des coniques; si donc l’une des cordes est représentée par ix + tip -r- vy = o, l’autre le sera par

'lx(u/' -h y/l — if) -r- up[y/i -+- I f — xg) -t- vy ( if iig — y/i) = o.

VI. Soient A et A'[(a,, P,, y,), (»,. p,, y,)] les points de contarl d’une tangente commune aux deux coniques U et V; P et P' deux points quelconques de l’une et l’autre conùiue : trouver le lieu de l’intersection C des droites AP, A’ P' lorsque PP' passe par un point fixe O de la tangente commune (M. Williamson).

Désignons par P et (.) les polaires de (a,, p,, y,), (x„ p„ y,) prises respectivement par rap|K)rl à U et V ; », p, y étant les coordonnées do C,

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celles du point P (où AC rencontre une deuxième fois laconique) seront Ua, -ïP=., Uv,-2Py;

de même, celles du point P' s<'ront \'ï, — . . Si la droile PP’ passe

par le point O, que nous supposerons à l’intersection de a et f), on aura en "énéral, pour le lieu du point C, l'équation

Vp,- -Il'j ~

qui est celle d'une courbe du quatrième ordre quand A, A' sont des points quelconques pris respccli veulent sur U et sur V, et ü un (loiiit sans relation déterminée avec A et A'.

Lorsque les points A, A' et O sont en ligne droite (sur la ligne a par exemple), le lieu se réduit à une courbe du troisième ordre

PV^ = QUp„

parce qu’alors a, et a, étant nuis, l'équation primitive est divisible par a.

Enfin si les points A et A' sont en outre les points de contact d’une tangente commune, P et Q représentent la même droite", et l’équation précédente se réduit à