CHAPITRE XV
nr l’UlNCirK I»E DlAUTt, KT de la MÉniOllE DE.S PULAIKES UÉC.lPUUUl ES.
■2‘.»8. La mthlioilc «les notniions abrt'fji'-es, exposée au ('liapilre piiTédeiil, pciil .s’appli(iupr aux )'‘i|uaiiuns en coonloiiiipos langrnliclles. .Ainsi, (|uaml les con-'lnnics X, cl v verificni la relalioii
(lù. -t- ha -S cv) (rt'X -4- h' a. 4- r'v)
la (Iroilc (|ii’clles (léniiissciU est langpiiie à une serlion coiiiipic (28.3) : parsuiie, la ilroilc (jui joini les deux points (70 )
«/. 4- ha 4- cv ■= O, «"/, 4- h" a 4- r" v = o
est langeiue à relie ronique, piiis(|u’rlli* est déterminée par des valeurs de À, fx el v salisfiiisanl .t l’équalion préeédeiilc.
Si donc a, |î, y cl o sont des équations de points (c'est-àdire îles fonrlions du premier d(“gre en /, u el v), réqualiioi xy = I, pij re|irésente en eoordonm'-es lanpenlielles une conique tangenli' aux quatre droites ai, i/, yà el oa. Plus généralement, S^ o elS': () étant les l'quaiions tangenliclles de deux coin Les, S — /i S' - o sera l'equalion langent ici le d’une rourtie à laquelle seront tangentes toutes les tangentes coinniunes à S el S', iniisque les valeurs de ?.. a et v qui annulent a la fois S et S' annulent aussi S — /. S'.
.Ainsi, S élattt une conique, S — /■ ajS sera une conique ayant avec la précédente, pour tangentes communes, les tangentes issues des points a cl L’équation xy — l ^' représente une conique dans laquelle les couples de tangentes
»£rilOD£ DES rOLAIIIES RÉCIPItO(.>tES. 387
issues (les points a et y coïncident respectivement avec les droites gc^, les points a, y se trouvent donc sur celte conique, et (3 est le pi'de de la cordc qui les joint. D(; même, S et S — a- représentent deu\ coniques ayant un double contact, et les tangentes menées par les extrémités de leur corde commune se renconirent en a; autrement dit, a est le p(Mc de la corde de contact.
On peut, du reste, en applii|uantà l’éfiuation ay = /> = jj’ le proc('‘d(' indi(|ué au n" 270, représenter un point de la courbe par
puis(|tic la tangente en ce point passe par les points yx ■+- h et u/l -I- y { *'.
E.VKRUCES.
I. Trouver le lieu du centre des coniipics inscrites dan.s un ipiadrilali’re.
Soient 5 = O, î;’=: O les ('■(piations langcntielles de deux coni(|ues inscrites dans un (fuadrilatore ; résiliation langenticllo d'une autre conique inscrite quelconque sera ï -e / 1'= o !2t18), et on aura pour l('s coordonnées du centre de cette conique ( 1 iO, ï'îl )
G -K XG' /
G -r hV' C -t-' Â'.' '
La forme de cci^ oxpressioris (7) montre (jue ce centre est sur la
( • ) Kii d*aulri*>» si dans un systèim» cjut'Icoiiqiic, a', r \ r’ t*l j-", r ", c*
ttortl ro<»rclonniM*ft d«» d«Mi» points iruiic cmii((U(% -i'*, z*" ««‘lloji «Ju |jô|«*
do la dn>ito qui loj« joint, Ion ( oor<lomuH‘H d*iin point qtiolrntnjuo do la c<Mii l>o peuvent fve iiioitr«* aouh la forme
a", /U*) 'h- 9 aX t ", c",
puisque la tan{;ohte on cc point dotonniiic sur doux luiq*ontos lixoH dos so(;monts qui sont dans les rapports /x: X, tiA : i. I orsquo X = i, la coiirlio ost une paralM>Io. L’espaco nous matiqiio pour dévoloppor t*o priiici[H-, qui est d’iiii usaQo fréquent; le liK'teur pourra on déduire la solution du problème suivant ; Trouver le lieu du point ou une tunf>ente rencontrant deux tangentes fxei est di%‘isêe dans un rapport donuê.
r.lUPITRIÎ XV.
droite qui joint les centres
des deux premières co
niques et la divise, dans le rajtport de C à /C',
II. Trouver te lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère.
En remplaçant, dans les équations (iW, Ex.) qui déterminent les foyers, X par.\ iX'..., et éliminant /, on trouve, pour ré(pialion du lieu,
[C(j’ — .r’) -I- 2E>' — îGx ■+ X — B][C'.rr— F'x — (l'i -i- 11']
= [C'(x’— 1 ’) -1-2 F'r — ■jlü'x A' — B’j [Cju — Fx — G.r -e II],
qui est celle d’une courbe du troisième degré ( r>o/> !i07 , Ex. -W), les termes de degré plus élevé se détruisant réciproquement. Cependant lorsque ï et sont des paraboles. 1 -s / 1' représente un système de (>as rabotes itiscriles dans un môme triangle; on a alors C = o, C'= o, et le lieu des foyers se réduit à un cercle.
Lors()ue les coniques sont concentriques, et que le centre est pris pour origine, les coefficients F, F', G. G' s'annulent tous à la fois; l'équation ï -t- /. S' repré.-enle un système de .coniques insr-riles dans un («trallélogramme, et le lieu des foyers est une hyiserbole équilatère (’).
III. Les cercles directeurs des coniques inscrites dans un quadrilatère ont môme axe radical.
En elfet, nous avons vu (501, Ex.) que l'équation du cercle directeur no contenait les coeHicients B,. . . qu'au premier degré, et , par suite, prenait la forme S -r- /S'= o lorsqu'on y remplaçait par .\ -+- X A'.. .. Le lliéoreme suivant n’est qu’un cas particulier de celui rpii jirécède.
Les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet comme diamètres ont môme axe radical.
209. Chacune dcS'éiiualions irotivées au Chapitre précédent est par suite susceptible d’une double interprétation, suivant qu’on la cotisidère comme relative à des coordonnées trilinéaires ou tangentiellcs (70), et peut conduire à un double théorème, le théorème déduit de la considération des coordonnées. tangentiellcs étant le réciproque de celui qui se
(*) On domonlivrait la manit're que l«‘ lieu de» foyer» de» conique»
rircenHorlIe» h un «|uadriIat*Te, Heu qui e»t en pénera! du »iiième dejjré, se induit au quatrième degré lorsque le quadrilatère est un parnllelograinme.
MCTIIOÜE llfcS POLAIRES RËCIPROUtES. 38lj
rapporte aux coordonnées trilinéaires. Ainsi, par exemple, nous avons démontré (2ü6) que si trois coniques S, S + LM, S -I- LN ont deux (loints (S, L) communs, les cordes (M, N, M — N ) qui joi{;nent les autres points communs à ces coniques prises deux à deux se coupent en un même point. Mais si nous considérons ces équations comme relatives à des coordonnées langentielles, nous voyons que L est le point de concours des deux tangentes communes qux trois coniques, et que les points M, N, M — N sont les intersections des tangentes communes à ces coni(|uus prises deux .à deux; de là ce théorème réciproque ; Si trois coniques ont deux tangentes communes, les intersections des tangentes communes à ces coniques prises deux à deux sont en ligne droite.
De cette manière, chaque théorème de position, c’est-à-dire ne se rapportant ni à la grandeur des lignes, ni à celle des angl(«, conduit à un théorème réciproque, dont l'énoncé s’obtient en changeant dans l’énoncé du premier les mots points et lignes en lignes et points; et ces deux théorèmes se démontrent par les mêmes équations interprétées de deux manières dilFérentes.
Nous exposerons, dans ce Chapitre, la méthode géométrique qui a fixé l’attention des mathématiciens sur ce principe de dualité (*).
300. Une courbe quelconque S étant donnée , si l’on prend les pôles de ses tangentes par rapport à une conique également donnée U, que l’on appelle conique aitxilinire, on obtient une nouvelle courbe 4 qui est la courbe poUdre de S par rapport à U.
Nous avons déjà eu occasion de résoudre un problème relatif aux courbes polaires (225, Ex. Xll), cl nous pouvons
(“) la nu'thodrt ilc» |ioluiroA riH.'iproqiufR «*sl due à PoïU'«’îut, qui l'a exdaii» U* IV® Vi>lume du Journal tic Crrlle. M. Pluckcr a pn'sente le prinri|»« de dualité ( tltr Anal^lischm tirometrie^ iH.Ij) au point de vue purement analytique que noiiA venom» d’indiquer; main c'f'st \ldlnuH qui^ dans H.1 Statique (^fîaryventrisrhe Calcul^ ® inlrudiiîl l'iisajp» des ctx*rdomuN*s
tancentielU*«.
MÉTHODE DES l'OLAIKES IIÉCI PROQUES. 3<)1
mi(‘ conii|ue, les droiles correspondanlcs de la rigiire s sont tangentes à la polaire de celle conitnie par rapport à U. En général, lorstpic 1(> lit'ii d'un point lié à S est une courbe S', \’eiiveloi>pe des droites- correspondantes liées à s est une courbe s', polaire réciprof|uc de S'.
:i03. Le degré de la polaire réciproipie d’une combe est égal (ï la classe ( lio, Note) de cette courbe, c'est-à-dire au nombre lie tangentes qu’on peut lui mener par un point quelconque.
En elïel, le degré de s est déterminé par le nombre de points suivant lesrpn'is un<‘ droite peut couper a; et, à une série de points de s situés sur une droite, correspond un même nombre de tangentes à S passant par le point correspondant à celte droite. r-orsi|ue S est une conique, on peut lui mener par un point deux tangentes, réelles ou imaginaires, et on ne peut lui en mener que deux (liü); donc une droite peut rencontrer s en deux ])oints, réels ou imaginaires, et ne peut la rencontrer qu’en deux points ; par suite la polaire réciproque d'une coni(|ue est une courbe du second degré.
iJO'r. Les exemples suivants serviront à montrer comment on peut, dans le cas oii S et s sont des coni()ues, diiduire par celte méthode un théorème d’un antre.
Nous avons vu ( "iti" ) f| ne si, dans la coni(|ue S, on inscrit un hexagone ayant A, B, C, D, E, F |iour côtés, les/m///Éi il'interseciion AD, BE, <;F de ses côtés opposés se trouvent sur une ligne droite. Nous pouvons en conclure que si, à la conique J, on circonscrit un hexagone dont les sommets sont a,b,c, d, e.f, les droites ad, be, ef concourent en un même point (2(i.'i). Le théorème de Pascal et celui de Brianchon sont réciproques l’un de l’autre ; c’est ainsi, du reste, que le second a été obtenu.
On trouvera dans ce numéro et dans les suivants un cei tain nombre de théorèmes avec leurs réciproques en regard. En s’astreignant à écrire ces derniers avant d’en lire l’énoncé, le lecteur arrivera rapidement à se tendre maître de la méthode <|ui se réduit en tlélinitive à un échange de mots : point cl ligne; inscrit et circonscrit; lieu et enveloppe, etc.
Sgî riuriTRK xv.
Lt“s trois cotôs d’un Iriangle tour- . Los sommets d'un triangle glissruil
nent autour de trois points fixes, ■ sur trois droites fixes, tandis que tandis t[ue deux sommets glissent deux de ses côtés passent par deux
sur deux droites; le Iroisiomo som- points, fixes : le troisième côté en-
met décrit une conique (ifiO). J veloppe uni' section couiiiue.
Si les |K)ints par lesquels passent ; Si les droites sur lesquelles glisles côtés sont en ligne droite, le i .«ent les sommets sont concourantes, troisième sommet décrit une. droite le troisième côté jiasse par un point ( i7. Ex. II). ; fixe.
Dans ipiel autre cas In troisième 1 Dans quel autre cas le troisième sommet décrit-il une droite (17, côté du triangle passe-t-il par un Ex. III)? : point fixe (.'Ki, Ex. III)? .
Lorsiiue deux coniques se louchent, il en csl de même de leurs réciproques; car les premières ajani de commun un point et la tangente en ce point, les dernières ont une tangente commune et un point commun qui est le point de contact de cette tangente. Quand deux coniques ont un double contact, leurs réciproques jouissent de la même propriété.
Quand deux des sommets d’un Iriangle circonscrit à une conique glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une conique ayant un double contact avec la conique donnée (272, Ex. II).
Quand deux des côtés d'un triangle inscrit dans une conique pas.scnl par deux points lixixs, le troisième côté enxeloppe une conique ayant un double contact avec la conique donnée '272, Ex. 111).
30o. Nous avons démontré (301 )(/ig. yj) que lorsqtic deux points, P et P', de S correspondent aux tangentes pl, p’ t' à s, les tangentes on P et P' correspondent aux points de contact P et p', cl leur intersection Q à la corde de contact pp' \ par suite :
./ un point Q et à su polaire PP' par rapport à S, correspondent une droite pp' et son pôle q par rapport à s.
Lorsqu’une conique passant par deux points fixes est tangente à deux droites données, la ligne qui joint les points de contact pas.^ par l’un des points d'un couple fixe (28C, Ex.).
la'rsipi’une conique tangente à deux droites fixes passe par deux points donms, l’intersection des tangentes menées par ces points s<‘ trouve sur une des droites d’un couple fixe.
MfiTIIODF DKS POLAIRES RÉCIPROQUES.
Lcspolairesd’un point fixe, prisi-s Les pfilos d'une droite fixe, pris par rapport à une si'rie de coniques par rapport à une série do coniipics passant par quatre points, coucou- inscrites dans un même quadrilarent cnunmémepoint (15l,Ex. II). tére, sont situés en ligne droite
(i78. Ex. 111).
• Le lieu des pôles d’une droite L’enveloppe des polaires d'un fixe, pris par rapport à une série point fixe, prises p.ir rapporté une de coniques passint |>ar ijuatre j série de coniques inscrites dans un points, est une section conique quadrilatère, est une section coni- (278, Ex. I). que.
Les droites qui joignent les sont- Les points d’intersection res|)ecmets d’un triangle aux sommets tifs des côtés d'un triangl'c avec, les opposés de son triangle polaire pris côté.s opposés de son triangle popar rapport à une conique, concou- lairc sont en ligne droite, rent en un môme point (90).
Inscrire dans une conique un Circonscrire à une conique un triangle dont les côté.s [tassent par triangle dont les sommets soient trois points donnés (297, Ex. Vil), situés sur trois droites données.
306. Efiant données deux coniques S et S' et leurs réciproques s et s', aux quatre points .\, B, C, 1) communs à S et S' correspondent les quatre tangentes a, b, c, d communes à s eti'; et aux six cordes d’intersection de S avec S', AB, Cil; AC, BD; .\l), BC, correspondent les six points d’intersection des tangentes communes à s et i' : ab, cd; av, bd; ad, bc ( * ).
Lorsque trois coniques ont chacune un double contact avec une quatrième, ou passent par deux points fixes, les six poinUs d'intersection des tangentes communes sont situés, trois par trois, sur une meme droite.
Ou bien : trois coni(|ues ayant chacune un double contact avec une quatrième, peuvent être considérées comme ayant quatre axis de similitude. (/'oir le théorème dun°117, dont celui-ci n'estqu’unecxtension.)
(•) On appi’Ue quelquefois t/nadi ang/e le système de quatre points réunis
Lorsque trois coniques ont chacune un double contact avec une quatrième, ou sont tangentes à deux droites fixes, leurs six cordes d'intersection jia.-sent trois par trois par un môme [loint (2ti-l).
En d’autres termes, trois coniques ayant chacune un double contact avec une quatrième, peuvent être considérées comme ayant quatre centres radicaux.
