CHAPITRE XV

lances /., 2, v de Irois points fixes à une laiifienle de la courbe réciproque, relation (|ui peut être considérée connue une espèce d'équation tangeutielle de cette courbe (*). L'éi|uniion générale d'une conique en coorilonnées irilinéaires devient, par cette Iransforinalion,

p, p', p" désignant les distances de rorigine aux sommets du nouveau triangle de référence. De même, à la conique définie par l’équation bomogène du deuxième degré

entre les distances À, a et y, correspond une courbe réciproque (jui a pour é(|uation en coordonnées irilinéaires

Py

a', Jî', •/' représentant les coordonnées Irilinéaires de l’origine.

KXKHCICKS.

I. Dans line conique délinie par un foyer et un triangle circonscrit, les distances p, p', p' des soimnets du triangle à une tangente quelconque vérifient la relation

6 ti' 'a*

sin 0 -t- — sinO’ -t- — sinO" = o,

dans laquelle 0, V, 't'' représentent les angles sous lesipiels les cotés du triangle sont vus du foyer.

Celte relation (MUit se déduire de l'équation Irilinéairc du cercle circonscrit au triangle dont elle est la réci|iroque. Lorstpie le fojer coïncide avec le centre du cercle inscrit, on a

Cl = ijo" -+■ I A, p sin JA =/■,

et l’écpiation tangentiellc (dans ce système particulier) du cercle inscrit devient

ptv colang ; A -1- vX colang - B -r- ’/pi cotang JC = o.

(*) f 'oir U la fin de ce \olnine la Motc n ialivc aiii cqiialinns iaii(;eiiticlli's.

MÉTIIOlll' IIKS POl.AIRES RÉCIPROr^lL'ES. 4*^^

En y rpmpîaçnnt successivement <lcux des cotangonles par des lai:genles, on obtient les cqualions des cercles exinscrits.

II. Dans une conique délinie par un foyer et un triangle inscrit, les distances des soitmiels du triangle à une tangente satisfont à la relation

. , /a . . * , Aa . . , „ / V

SU) 0 4 / - sin 7 0 1 , -H 8111 5 4 4 -î = O.

1,'équalion tangcntielle du cercle circonscrit prend alors lu forme

sinA v^A T sinB y p -e sinC — o.

III. La conique délinie par un foyer et trois tangentes a pour équation trilinéaire

sinO

smO'y/l

sinO*

comme on peut le voir en formant la réciproque de l'équation trouvée plus haut pour le cercle circonscrit.

1\\ On trouve de même, en parlant des résultats obtenus à l'Exercice I, pour l’équation trilinéaire de la coniipie délinie par un foyer et trois points,

— tang 2 j i Y °-

31-2. Un très-grand nunibre de pruposilions relatives à la grandeur des lignes peuvent se ramener à des théorèmes concernant des droites divisées liarmoniquenient ou anliarmoniquement, et par suite être transformées au moyen du principe suivant :

.4 quatre points en ligne droite correspondent quatre droites concourantes, et le rapport anliannonique du faisceau quelles forment est égal à celui des quatre points.

Ue principe est évident, puisque chafiue droite du faisceau mené par l’origine aux points ilonnés est perpcmiiculaire à l’une des droites correspondant à ces points. Les propriétés anharmoniques des coniques en général peuvent ainsi se déduire de celles du cercle.

4<>4 CIIAPITRK XV.

Ia' riip(>ort animrmoniqiic du | U* rapport anliarmoniquc drs faisceau formé en joignant quaice | quatre points suivant lesquels une p<vints fixes d’une conique à un quel- tangente variable à une conique est conque de ses |>oints est constant. ' diNisée par quatre tangentes fixes

J est constant.

Le premierde cc.s théorèmes est vrai pour le cercle, puisque tous les angles du faisceau .sont constants; donc le second est vrai pour toutes les coniques; le second théorème est vrai pour le cercle, puisque les angles au centre correspondant aux quatre segments sont constants; donc le premier est vrai pour toutes les coniques. En cherchant les angles qui, dans la ligure réciproque, correspondent aux angles constants dans le cas du cercle, on voit (|ue les angles sous lesquels les (juatre segments de la tangente variable sont vus du foyer sont constants, et que le faisceau inscrit détermine sur la directrice quatre segments vus du foyer sous des angles constants.

313. Le rappoi't anliarmoniquc des points d’une droite n'est pas la seule relation concernant la grandeur des lignes qui puisse être exprimée en fonction des angles formés par le faisceau qui joint ces points à un point lixe O, et, par suite, subsister pour toute transversale qui rencontre le faisceau. Toute relation entre «les distances, qui pourra, en y remplaçant

chacune d’elles AB par la quantité

, OA.ÜB.sin.AoB

Ol'

(.’iC), être

ramenée à une relation entre les sinus des angles sous lesquels ces distances sont vues d’un point donné O, sera dans le même cas, et donnera lieu à un théorème réciproque en prenant le point O pour origine. Ainsi le théorème du n" 148 conduit immédiatement au théorème suivant dû à Carnot :

Lorsqu une conique renconlre respect ieeinenl les côtés AB, BC et AC il’un triniif^le ABC en c et c' , a et a' , h et i' , on a la relation

Ac. Ac'.Bn.Bn'.Cfc.Cè'

A6. Aè'.Bc.Bc’.Ca.Ca'

Cette relation est telle, en effet, qu’on peut y remplacer chaque

MÊTIIUDE DES POLAIRES KÉCIPROQL'ES. 4*^^

ligne Ac par le sinus de l'angle A Oc, sous lequel elle est vue d'un point (ixe. Le iliéorèrne réciproque a été donné au ir29o.

314. Ajoutons ici queUiues considérations générales sur les coniques réciproques, en étendant à toutes les coniques le théorème du n” 308 : La courbe réciproque d'un cercle est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant (|ue l'origine est située en dedans, en dehors du cercle ou sur la circonférence. 11 est évident que, plus un point ou une droite sont rapprochés de l'origine, plus la droite ou le |)oint correspondant en sont éloignés; lorsiiu'une droite passe par l'origine, le point correspondant est à rinlini, et la droite correspondant à l'origine est elle-même à l'inrini. Donc, à deux tangentes menées à une courbe par l'origine correspondent deux jioints à l'inlini d<! la courbe réciproque. l’ar suite, si par l'origine on peut mènera la courbe deux tangentes réelles, la réciproque a deux points réels a l'infini, c’est une hyperbole; lors(|ue les tangentes menées par l'origine sont imaginaires, la réciproque, qui a deux points imaginaires à l'infini, est une ellipse; enfin, quand l’origine est sur la courbe, les deux tangentes réelles coïncident, il en est de même des points à l’infini, et la récipro(|ue est une parabole. La droite à rinlini correspondant à l’origine, on voit que, si l’origine est un point de la courbe, la ligne à l'infini est tangente à la courbe réciproque; ce qui nous conduit encore à ce théorème (234) : Toutes les paraboles ont une tangente à Tinjini.

315. Aux points de contact de deux tangentes menées par l’origine correspondent les tangentes menées à la réciproque par les points situés à l’inlini, c’est-à-dire ses asymptotes. L’excentricité de l’hyperbole réciproque ne dépendant que de l’angle compris entre ses asymptotes, dépend uniquement, par suite, de l’angle compris entre les tangentes menées par l’origine à la courbe primitive.

L’intersection des asymptotes de la courbe réciproque (c’està-dire le centre de la courbe) correspond à la corde de contact des tangentes menées par l’i rigine à la courbe primitive. Le

4<)6 CIIAPITRB XV.

ihéoréiiie comprend, comme cas parlicnüer, le suivanl, que nous avons déjà démonlré : Au cenlre du cercle correspond la directrice de la conique réciproque, puisque la directrice est la polaire de l'origine, qui est le foyer de la conique.

Exi;nar,n;.s.

I. I.a réciproque d’une paralmle par rapport à un point de ladiroctrice est une liy[>erl)ole étpiilatcre (rwir n“ 211 ).