II. Promer (|ue les lliéotémes suivants sont récijiroques
Les liaiiteurs du triangle cirron- Les hauteurs du triangle inscrit scrit à une parabole se cou|K‘nt .-iur dans une hyperbole équilatére s<’ la directrice. coupent sur la courbe.
III. Déduire le théorème jtrécédent du théorème do Pascal Kx. ill).
IV. Les axes <le la courbe réci|)ioque sont respectivement parallèles à la tangente et à la normale menées par l'origine à une coni(|ue qui passe par cette origine, et a mêmes foyers que la courbe primitire.
En elfet, les axes de la courbe réciproque doivent être parallèles aux bissectrices extérieure et intérieure de l'angle ipie forment les tangentes menées par l’origine à la courbe primitive. Pour achever la démonstration se re|>ortcr au n“ 18'J.
•TIG. On peut toujuiirs placer l’origine de telle sorte que les coni(ines réciproques, par rapport à cette origine, île deux cercles donnés soient homofocales. En elïet, les réci|)roqiies des cerclesayant un foyer conimiin, l’origine, il siiflit, pour que l’autre foyer soit aussi commun, i|u’elles aient même centre, c’est-à-dire iiuc la polaire de l’origine soit la même par rapjiorl aux deux cercles; jiar suite, que cette origine coïncide avec un des points déterminés au n® 111. Donc ;
En preiiiinl un îles points limites pour origine, ii un systi-me de cercles ayant mâme axe radical (XiV.)) correspond comme réciproque un système de coniques homofocales.
On verrait de même que les récipro(|iies de deux coniques sont concentriques lorsque roriginc est un des trois
MÉTHODE DES POLAIRES RÉCIPROgiKS. 4°7
])oin(s (28'2) av;inl'iiK‘inc polaire par rapport au\ oourbes primitives.
Les conicpies liomofocales se coupent à angle droit (ISH).
Les tangentes menées par un point à deux coni(|ues lioiuofocales sont également inclinées l’une sur l'autre (18-I).
Le lieu du pôle d'une droite fixe ()ar rapport à une série de coniepirs liomofocales est iine perpendieulaire à la droite fixe (22i>, Kx. III).
La tangente commune à deux cercles est vue sous un angle tlroit de chacun des [minls limites.
Les segments interceptés par deux cercles sur une sécante .sont vus sous des angles égaux de chacun des |K)ints limites.
La polaire d’un point fixe par rap|)ort à une série de cercles ayant même axe radical passe par un point fixe, et la droite qui joint les deux points fixes est vue sous un angle droit de chacun des points limites.
317. La méthode dos polaires réciproques fournil une solution simple de ce prohlème ; Décrire un cercle tangent à trois cercles donnés. I.e lieu des cetUres tics cercles tangents à deux cercles donnés (i) et {2) est évidemtnenl une hy|)erbole, puisque c’est le lieu du sommet d’uii triangle dans le<|uel’on connaît un des côtés et la dill'éronce des deux autres. Les polaires de cos centres (308), jiar rapport à un des cercles donnés (1), enveloppent ttn cercle (o) (|u’il est facile de construire. De même, les polaires par rapport à (i ), des cetitres des cercles tangents à ^l et (3), enveloppent un cercle (o'); par suite, le pôle, par rajqiort à (1), de la tangente.«commune à (o) et (o'), est le centre du cercle tangent aux trois cercles rionnés.
318. Tvonvev rriiiuilioii de lit réciproque d'une conique par rapport à son centre.
La longueur p de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente a pour valeur
«îcos’O 4- ô’sin’O (178),
0 étant l’angle que cette perpendiculaire fait avec l’axe a. L’ctiuation de la réciproque seia donc, en coordonnées po-
laire;>,
r.iiAPiTRi'; XV.
= <i’cos'5 ^»*siii*0,
h élani ime cons-iaiilo; (>t, par suiie, en coriloiinéos ordinaires,
~rr ->T- = ■ ■
La réripro(iue est donc une conique concciiiriquc dont les axes sont les inverses des axes n et l> de la conique priiniiive.
310. / ronver l' éqiuition de la réciproque d'une eauique pur lupport ti un point quelconque (as, )•').
I.a distance p d’un point (.r', y') à une tanj;entc étant ( 178
Id
\ «'cos’5 -H /)=sin’5 — .r'cosû — >•' ‘ in 0,
l'équation de la courbe réciproque sera
( .vx' H- -t- h ’ )’ = rt’ar’ -t- h\r'‘.
320. Déduire rétptalion de ta réciproque, pur ruppoii à un point {x', y'), de l'équation de cette réciproque pur rapport à iorij^ine.
Si I’ est la distance de l’origine à une tangente, la distance d'un autre point (a:',j'')à cette tangente sera
1’ — x'co^O — v'sinO (3i);
ce qui donne, pour l'équation polaire du lieu,
— = — a: cosO — /'sinO,
P et R étant les rajons vecteurs relatifs au point {x', y') et à l'origine; on a, par suite,
A’ x'x-hy'y-hti^ RcosO pcosO
R P ’ A’ xx' -hyy' -h A’
Il faut donc, dans l'équation de la réciproque donnée, rempla-
MËrilOl'F. DES POLAIRES RfriPROylES.
cer X el^’ respeclivenienl par
li'x !('y
xx' -r- yy' + It'^' xx' + }'y' -Y- h'
Le résuhai de celle suhsliluiiuii peiil, du reste, s’oblenir siinplemeiil en niellanl l’éi|Uiilion de la réciproque donnée sons la forme
dans laquelle on a désigné par «„ les lernies de degré n, par Hn-, ceux de degré (« — i), el ainsi de suile. L’équaiion de la réciproque, parrapporlà un poinl (æ:', )■'), devienl ainsi
xx' -Y- ry' -Y- I X x' Y y' -Y- 1>'‘\
el représenlc une courbe de même degré que la donnée.
réciproque
32 t. y 'rouvitr la n'ciproqiH-, par rapport au cercle x‘‘ +7’ — /l’ = O
de la conique définie, par l'équation générale.
La polaire, par rapport à l'auxiliaire, d’un point de la courbe réciproque est lungentc à la courbe ilonnée. Nous irouverons donc l'équation de la réciproipie en écrivanl que la polaire
xx' -Y- y y' — l,\
de {x',y'), est langenie à la conique donnée, c'esi-à-dire en remplaçant, dans réi|uation tangentielle (151) île celle conique, U. et V par x' , y’, — A’. On irouve ainsi pour la réciproque
At’ üllxy -I- B>’ — aG/i’x — a F lt\y-Y- Ch' = o;
el on peut déduire de cette équation les diverses propriétés démontrées antérieurement. Ainsi,- par exemple, si la conique donnée est une parabole, on a ab — /(’ = o, par suite G — o, et la réciproque passe par l’origine.
Si, pour plus de svmétrie, nous avions remplacé A’ par —
CIIAPITRE XV.
4lO
et pris la réciproque par rapport à la courbe x' + -h z’ = o, nous aurions eu xx' -H >*>•' -h zz' pour la polaire, el l’équalion de la réciproque aurait été obtenue en remplaçant, dans l'équation lan};entielle, /, u, v par .r, r, z. La condition pour que la droite Xx -4- ay -t- vs soit tangente à vine courbe peut donc être considérée comme l'équation de la réciproque de cette courbe par rapport à x’ -t- r’ -t- — o.
l.’é(|uation tangentielle du degré reiiréseuie toujours une courbe de la classe; car, si l'on suppose que
Xx-(- uv-4-v5 passe par un point fixe, c'est-à-dire (lu'on ait ).x' -i- ;j-v’ -f-v*' = o, en éliminant v entre celte équation el ré(|uation tangentielle donnée, on obtiendra une é(|uation de degré n )tonr déterminer le rapport / : u ; par suite on pourra mener n tangentes par le point donné.
322. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant une série de tbéorèmes pour la transformation des(|uels M. Chasles a proposé de prendre pour auxiliaire une parabole au lieu d’un cercle. I.e principe suivant, énoncé au n"2ll, permet en elTel de transformer facilement des ibéorémes relatifs à la grandeur des lignes mesurées parallèlement à une droite fixe.
Deux droites ijuelconques déterminent sur l'axe d’une parabole un segment de inèine grandeur que les perpendiculaires abaissées sur cet axe par les pôles ilc ces deux droites.
A deux tangentes à la courbe ])iimitivc, menées parallèlement à l'axe de la ))arabole, correspondent les deux points à rinfmi de la courbe réciproque ; par conséquent, la réciproque sera une liyi>erbole ou une ellipse, suivant que ces tangentes seront réelles ou imaginaires. Ce sera une parabole si l'axe passe par un point à l'inlini de la courbe primitive.
Dans une conique, une Innf’enle variable tiéterinine sur deux tangentes parallèles des scj^ments iloni le produit est constant.
Aux deux points de contact des tangentes parallèles correspondent les asymptotes de J'byqierbole récipro(|uc; aux intersections de ces tangentes parallèles avec la tangente variable, correspondent des parallèles menées par un point aux asymptotes. On a donc les deux tbéorèmes suivants :
MÊTIIOUi: DES rUEAIRES ntClI’ROQl ES. 4‘‘
/.e produit drs spj^mrnls, que délerniinrnl sur une droite fixe les ns) wptotes et leurs parallèles menées par un point de. lu eoitrbe, est eonstnnt ;
Le rectangle ronstruit sur les parallèles menées aux asymptotes par un point de la courbe est constant.
Les cordes (|iii joignent deii\ Dans une parabole , les |H'r|H‘npuinU lixes de l'hyperbole à un i diculaires menées à lu tangente au point variable de cette courbe dé- ^ sommet par les intersections d’une terminent sur l’asymptote un seg- I tangente variable avec deux tanment do longueur constante : l'.MI, gentes lixes déterminent sur cette Kx. I). I tangente au sommet un segment do
I longueur con>tanle.
I.es applications dt* la méthode précédente sont assez liiniices.
