AU.BC

se réduit en déliniliveà — lorsipie le point I) s’éloigne à

ai

l’inrini, parce qu’alors AD devient égal à — DC.

Loisciue la droite est divisée barmoniquemeni, le rapport anbarmoni(|ue est égal à — i, et (piand le point D s’éloigne

(*) la |>ro|»ri<*tê f**mlamentale des falM’iMiix nnharmonîqiH'H a «îU! doniu'c ]»ar l*ap|»ii>» O»//., XII, Îa* nM>l unhaniumique v%t d»^ à '1.

du dans hoii Ifis(oirc <ie la (IcnmetrU qiu* nous avons puiso Ic^s

prim’ipaiix idt'mcnlH do ne Chapitm, renvoyant pour de plus amples détails au^ Traité dr Oéométiie supérieure et au Traité des Sections coniques du même auteur. I.n rapport anharinoni<|iie a été aussi étudié pur .M(»bius dans sa Statique (liarj'cenirische >1^27) sous le nom ile Doppeht hnittsverhaltmss

{^Rapport des doubles sefpnenls).

PnOPRIÊTÉS lURXOrdQUKS FT AMURMONIQl'KS. 4'^

à riiiriiii, la distance AC se trouve divisée en B en deux |i:iriies égales.

3‘2i. A|)|di(]uons ce qui précède au théoi'èine du n" 1V(> :

Lorsqu'une sécante OK, issue d'un point fixe O, rencontre une conique en R', R" et la polaire de O en R, tes points O, R', R, R" forment une ilivision harmonique.

I. Supposons R" à l’infini. La droite OR est alors divisée eti deux parties égales en R' ; donc ; Le segment de la droite menée par un point fixe parallèlement à l'asymptote d'une hyperbole {ou nu diamètre d'une parabole ), compris entre Je point fixe et la polaire de ce point, est divisé par la courbe en •leux parties égales (211).

II. Lorsque R s’éloigne à l’infini, R' R" est divisé au point 0 en deux parties égales; dune : La corde menée par un point parallèlement à sa polaire est divisée par ce point en deux parties égides.

Si la polaire de O est à l’infini, toutes les cordes qu’on peut mener par ü rencontrent la polaire à l’infini, et par suite sont divisées au point 0 en deux parties égales. Ce p(,int est donc le centre de la courbe, autrement dit : I.e centre peut être considéré comme un point dont la pohdre est l'i l'injini (l.’iV).

III. Quand le point fixe est à l’itifini, toutes les droites qui passent par ce point sont parallèles et divisées en deux parties égales par la polaire du point fixe. Donc : Un diamètre d'une conique peut être considéré comme la pohdre du point ii l'infini oiï ses ordonnées sont supposées concourir.

Cette consé(|iience peut aussi se déduire de réi|uation de la polaire d’un point {x‘, y')

(ax hx -i- g) -d{hx -e by - = o(145).

En effet, quand {x', y') s’éloigne à l’infini sur la droite 1 ^ n

my = nx, on a a la fois x=:30 ; par suite l’équation