IX. ( X , AB * X 'j = ( 50 AB X X

F.es sepiunis sont mesurés suivant les asymptotes; O étant le rentre, on a la relation

(l<7 fV/

ÏÏZ ■ < U? ■

qui exprime que le rectangle construit sur les |wrallcles menét's aux asymptotes par un point de la courbe est constant. (Conformément à la remanpie de l'Exercire I, nous avons interverti le deuxième rap|)ort.)

327. Kxniniiiuiis (luelques cas particuliers ilii tluMtrème relatif à la propriété anliarnioni(|iic îles tangentes à nne conique (-275).

KXKItCir.ES. '

I. tietto propriété prend une forme très-simple lor.sque la conitiue est une parabole, puisque cette courbe a toujours une de ses tangentes à l'infini (2.'if). Ainsi, dans une [larabole, quand trois tangentes fixes

' ig- Oii-

cou|icnt une tangente variable aux points B et C (Jig. 99), le rapport AB : AC est constant.

Si l’on fait co'i'ncider suce.«sivement la tangente variable avec chacune

PROI’RIËrtS II AHMONigLES HT AMI « HMd.MULK*^. cloÿ langcnlcs fixes, on oblieiil la relation

/>Q jyi ye

gu " I*-/ “ rl> ’

Tl’, gP. QR étant trois tangentes, 7, r, /; leurs |)oinls(lc eontael.

II. Deux (les (|ualre tangentes fixes en B, C, I) loo) à une ellipse ou à une hyperbole sont paralleU»s : la tangente variable eoïncide successivement avec l’utM' d('S tangentes parallèles (en et D).

Si les tangenle.s en B et C rencontrent resiK'clivemcnt en h et c, h' et c'

Fi^. 100.

les tangentes A et D, les rapports anharmoniiiues .sont, dans l'un et l'autre cas,

Ac ’ DA’’

et, par suite, le rectangle .A A. DA' est constant.

On voit ainsi, en partant delà propriété anharmuni(|ue des points d'une coniipie, (]ue les droites O.V, .\D, «lui joignent un point O de la courbe aux deux points .\ et D, déterminent sur les tangentes paral'éles des points A et A' tels, que le rectangle .\A.DA' est constant.

328. Nous donnerons ici (|uel(|ues exemples des problè*ines qu’on peut aisément résoudre au moyen des propriétés anliar- * 'monitjues des coniiiues.

EXERCICES

I. Trouver le lieu du sommet V d'un triangle dont les côtés pivotent autour de trois points fixi>s A, B, C, tandis que les deux autres sommets glis.sent sur deux droites fixes Oa, OA.

Supposons qu'on ait tracé [Jîg- loi) quatre de ces triangles, et soient ««'«'n'”, AA'A'A” les diverses positions des sommets glissant sur les droites fixes. Les deux faisceaux (C, an’d’n"), (C, AA'A'A'”) sont identiques; donc

(fla'a'rt'") = (AA'A'A"),

ClUriTRR XVI.

[rin'/i’ir) (li'si;;nnnt le rapport anharmoniqiie des poini.s «, n”;

par fuite

(.V.flnVfl") (M,hb'h’b"),

et d'aprè.s la nature de la rpiestion