P, AA'.\'A") = (P, VV'V'V

résulte do a'c que les faisceaux déterminent des segments de même longueur sur une droite fixe.

Ainsi le lieu du sommet d'un triangle est une conique lorsque, la hase de ce triangle étant fixe, les autres cotés interceptent sur une droite fixe des segments de longueur constante.

VI. La démonstration de l'Exercice I peut encore s’étendre au cas où les extrémités do la droite glissent sur une conique [Kissant par les

r.MAPITRK XVI.

4'ïî

poinls A, 11 par suiU'

Car on prenant (juatre positions du triangle, on a

) = [hh'h’lr],

Vil. La base d'un triangle liasse [lar l'intersection C des tangentes cuminunes à deux sections coniques; les extrémiK''s de cette ba.se nb glissent sur l'une et l’autre des coniques pendant que les cdtés pivotent autour de deux points fixes A et B pris sur l’une et l’autre des coniques : le lieu du sommet est une conique passant par A et B.

la marche à suivre pour déterminer ce lieu est analogue à la pn'H'édente et s’appuie sur le théorème du n“ i“6, dont voici du reste une démonstration géométrique assr'z simple. Soit (O, ABCIl) le faisceau mené par les points correspondants du faisceau (o, iibal). Les droites OA, on se couiH'nt en r sur une des cordes d’intersection des coniques (27i, Ex. 1); de mémo BO et bn se coupent en /•' sur la même corde, etc. : ilonc les rapports anharmoniqiies des deux faisceaux ont même mesure (,-,'rV”)-

VIII. Un peut supposer, dans l’Exercice VI , que la base, au lieu de passer par un point fixe, enveIop|)C une conii|uc ayant un double contact avec les coniques données [ivtir n" i7C).

IX. Les n sommets (rt, /), c, .. .) d'iiu polygone glissent sur une conique, tandis que « — i de ses côtés pivotent autour de « — i points fixes, le côté libre enveloppe une coniipie, ayant un double contact avec la conique donnée.

Prenons quatre positions du polygone nbr . . n' b’r . . . , n'b'i'..., n‘"b’'r’' . . . ; on aura la série d’égalités

(««'«’«") “ [b b' b" b'" ') — (cr'c'’c"’ ),

ce qui ramène le problème à relui indiipié au n° 277 : Étant donné trois couples de points ««'«', iht'd’, trouver l’cnvelopi>e de de telle

sorte que

[nn'a’n”') = (r/r/V/'r/").

.X. Inscrire, dans une conique, un polygone dont les côtés passent par des points fixes.

Prenons un point quclconi|ue n de la conique pour sommet du polygone, et construisons, en partant de ce point, le polygone dont les côtés p.isscnt par les points donnés : le point z, où le dernier côté rencontrera la conique, ne coïncidera pas en général avt>c le point n. Inscrivons ainsi

rilOI‘i<l(:itS II AHIIOMQl'KS ET T MU KMCyHiyEES. ^

/IMiitri- )K)ly!;on(‘s qui, parliinl dos |i6itils n*, so li^rmirioroiit

on Z, z\ z",z", nous aurons, ooinmo |>rocodemmont,

i‘l si lo dernior polygone essayé satisfait à la question, «" coïncidera

lï(;. lot.

k’ f' ' ' Ln ' M \

avec j". Dés lors le problème se ramène à celui-ci ; Étant donné trois couples du points, an' u' , zz'z", trouver un point K tel que

{ KrtrtVi”) = ( K

Si nous considérons comme les sommets d'un hex.igone

inscrit (dans l'ordre où nous venons de les indiquer en prenant alternativement iiiwi et un de maniéré que «, «’ soient les sommets opposés

à Z. z', i”), l'un des points ou la droite lai.-sant par les intersections des côtés opposés rencontre lu conique sera le point K. En effet, si, dans la ,/îg. io3, on représente par A, C, U et D, E, B les [xiints a, a', a’ et z,z',z\ et si l'on prend les côtés dans l'ordre ABCDEF, les intersections des côtés opposés sont I,, M, N, et le rapiiort (KPNL) mesure à la fois (D, KACE) et ( KDFU); on a clone .

(K.U;E) = (KDFB), ce qui justifie la construction (*).

(•) Olle constniotidii du |inly(;uiie iiisrril à iiiif coniipiu est due à Poiieelet ( Traite tiei Proprirtés projectives, |i. 3ii}. l a deinuiislratioii que j'en ai donnée m’a été eoiiiiiiuniqnee (.ar M. Townsend. Klle pnit servir, en mitre, à montrer (jiie la eoiistruction de Iionrelet s'applique à ta scdiitiuii itii prolilênie suivant : Inscrire dans une conii/ue un poTt^one dont chaffue côté soit tanpent à une conitfue as nnt au itouhte contact avec la couii/ue donnée. T outes ees cuniqiies, luuirlie.’s par ies ciites du polvjpine, peuvent être dilt'ennitea.