CHAPITRE XVI

Il est facile do \oir, d’après l'Excrcicc IX, ([ue K est l’on des points de contart d’imc conique ayant un double contact avec la proposée et lanj,'enlc aux droites r/ï, «'a', La solution précédenle peut donc s’appliijuer au problème suivant : Décrire une conique ayant un double contact avec une conique donnée et tangente à trois droites données.

XL La propriété anharmonique nous permet de donner une démonstration simple du tbéoréme de Pascal , sur letptel nous nous sommes appuyé dans l lixercice précédent.

On a

(E, Cni'B) = (.\,CDFB).

D'ailleurs, en conqiarant les segments déterminés respectivement sur BC et IH'. par le premier et le second faisceau, on voit que

(CBMB) = (CDNS). • .

Si l’on joint le point L à chacun des points de Bl'. et de DC, on forme deux faisceaux qui ont trois rayons communs CL, DE, .\B, les quatrièmes rayons NL, L.\I ne forment donc qu’une seule ligne droite. On démontrerait de même le théorème do Biianchon, en s'appuyant sur la propriété anharmonique des tangentes.

XII. Une conique passe par quatre points A, D, F, B ; trouver l’envclopipe do la corde CE déterminée par les intersections de la conique avec deux droites fixes DC, DE passant par un di*s points donnés io3).

Les sommets du triangle CE.M glissent sur les droites fixes DC, DE, XL, et deux de sr>s cotés passent par des points fixes B, F. Donc le troisième coté CE envelupi>e une coni()ue tangente aux droites fixes IK’. , DE. (Cette génération de la conique est réciproque de celle indiquée [lar .Mac Liurin.)

XII. Une conique passsc par (pialre (loints A, B, I), E ; la droite CF qui joint les points où les deux droites fixes .\I’, CD ( menées chacune par un des quatre points donnés) rencontrent la courbe passe par un point fixe.

Deux des côtés du triangle CF.M [fig. io3) passent par les points fixes B cl E, les sommets glissent sur les droites fixes AF, CI), .NL, qui coucourent en un môme point ; donc CF passe par un point fixe (301).

Le lecteur trouvera dans le Chapitre relatif à la méthode des projections les Ihéurémes bien connus (335, Ex. III et IV), qui ont conduit aux précédents.

XIV. Dans une conique , le rapport anharmonique de quatre diamètres est égal à celui de leurs quatre conjugués.

PROPRIÉTÉS OARMONIQUES ET AMI ARMOMU'JES. 4* (**)^

Co théorème est un cas particulier do celui du n° 297, Ex. II ; le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est le même que celui de leurs polaires. Mais on peut le démontrer directement, en oh- .servant que le rapport anliarmonicpie de quatre cordes issues d’un même point do la courbe est égal à celui de leurs cordes sup|ilénientaires (179).

XV. Trouver le lieu des centres des coniques circonscrites à un quadrangle donné (Ibl, Ex. III).

Menons dans une conique les diamètres ayant pour cordes les côtés du qnadrangle: le rapport anharmonique de ces diamètres est connu, puis<pi'il est égal à celui de leurs conjugués, c'est-à-dire à celui du faisceau dont les rayons sont parallèles aux côtés du quadrangle. Donc le lieu est une conique passant par le milieu des côtés du quadrangle. Dans le cas où la conique se réduit à deux droites, les intersections des diagonales, celles des côtés opposés sont des points du lieu : donc ces (Kiints se trouvent sur une conique passant par le milieu des côtés et des diagonales.

329. Nous laisserons au lecteur le soin de former les théorèmes réciproques de ceux que nous venons d'énoncer et de les démonlrer direciemeni au moyen de la propriété anliarmonique des tangentes à une conique. Ils sont presque tous renfermés dans le théorème suivant:

Les droites qui joij’nenl les points correspondants ou homologues de deux divisions homographiques a, h, c,

b', c' , d',... de bases (') différentes enveloppent une conique. En elTet, d’après la propriété anharmoni(|uc des tangentes, la conique tangente aux deux hases cl aux trois droites aa’ , bb' , cc' est également tangente à la droite dd' ("*).

(•) Oii sippollo la ligm* druiti^ sur luqiiollo boni Mtucb Icj* f for-

mant une dhisioii.

(**) lien des intori^^cUons des druiles Pt/, PV/' qui joignent le» points de CO» deux tiivihiuns à deux points tlies P et P', est une cuniqiio passant par ces points lixes. On suit (*77) que si a, b, c, a\ b\ c\ </' sont deux sys-

tèmes homo^^ruphiques de points pris sur une conique donnée, cVst-a'dire tels, qu'on ait toujours (rt'A'cV’}, l’enveloppe de dd' est une conique

ayant un double contact avec la conique donnée. De même : le lieu des intersections des droites P</, P'</' menées à ces deux systèmes homo(;raphiqucs de points pris sur une conique, par deux points lixes P et P' de In conique^ est une conique passant par P et P'. De plus : lorsque deux coniques S et S' ont

CnAPITHE XVI.

Ce ihéorème est le réciproque de cehii qui a été donné au n° 297, et peut se démontrer en considérant les équations indiquées alors comme des équations tangentielles. Ainsi P, P'; 0, Q' représentant en coordonnées tangenlielles deux couples de |)oints correspondants, P -t-).P', Q -4- ).P’, en représenteront un autre, et la droite qui les joint sera lansrente ù la courbe donnée par l'équation langentielle du second ordre PQ' = P'Q.

EXERCICE

l’iir un point fixe P, on mené une transversale P.V qui renrontre en .V, A' les deux droites fixes OA, OA'; on prend sur ces droites, à partir de A el de A', des serments .\«, A'«' de longueur donnée ; trouver l'enveloppe de au' .

En donnant ù la transversale (lualre positions successives H, I), on. a évidemment