ABCD) .= (A'B'C'D
et comme
(ABCl)j = (A'B'C'D') = [u'b'i'il'),
la droite enveloppe une conique tangente à OA et 0.\'.
330. Lorsque, par la luélliode précédente, on trouve que l'enveloppe d’une droite mobile est une section conique, il est, en général, utile de rechercher si, dans une de ses positions particulières, la droite mobile ne se trouve pas tout entière à l’infini, car alors elle envelopite une parabole (2.’jV). Ainsi, dans l’Exercice précédent, la droite an' ne peut être à l’infini, que si la transversale .A.\' peut elle-même être à l’infini, c’est-à-dire lorsque le point P est à l’infini. Pour que l’enveloppe à latiuelle on arrive dans l’Exercice précédent soit une parabole, il faut donc (|ue les transversales au lieu de passer par un point fixe soient menées parallèlement à une
un (toubU‘ contnrl avec une tmisième S", les tanj^entes ii S* «leterniinent des »yst4*im‘s homo{;raphiques abai... dans S, et ti'bU’il' . . . dans S', tels que = (rt'A'fV/') (*27(>). Maison ne pas dire que, reciproquenieiil, les droites qui joi^nenl les points homolo^pies de dmi\ svstermts homujraphi - (|Ues upparlenant a deux coniques différentes eineloppciit nect'ssairement une conique.
PROPRIÉTÉS IIARMOMQl'PS ET AMIARMOMQTES. 4^7
ilroiie (lonnpc. On peiii du reste souvent déterminer la miture du lieu décrit par un point niohile, en étudiant (luelqiies positions particulières de ce point (328, K\. XV).
331. h.ltinl iloiiiuf un système de points situés sur une droite, on peut toujours former sur une antre droite un système homographique tel, qu'iï trois points a, b, c du premier correspondent dans le second trois points a', b', c', pris arbitrairement.
Prenons sur cliaque droite une origine cl désignons par a, b, c, X les distances à l'origine des trois points donnés et d’un point variable de la première droite; par a', bt, <•', x' les distances analogues des points de la deuxième droite. La condition pour que les points des deux systèmes se corresjiondent sera donnée par la relation (277)
(a- b){ e-x) (fl' -b’ ) (c' - .r' )
(fl — <’) i b — a: ) ( «' — c'} (b' — x' )'
qui, développée, conduit à une expression de la forme
\xx‘ -f Ba" Ca’' -4- D = ü ( * ).
On peut donc toujours trouver sur la seconde droite un point x' correspondant à un |)oint x <1î la |)rcmière, de telle sorte ipie l’on ait
abex— a' b' c'x'.
(*) M. ce Uo la inaiiîrrt* îiiihantt*. I.«*s points
.r, .r' appartoiinnl iiiix fiystôiTUix homographlquos, et los poiiiU a, A, a\ h’ »*lant l<*s rapports rt.r î hxy a'x' lies par une équa-
tion linéaire telle que
ftJ- /i* X '
bx h X
Si l'on représente, etnume ri-<lessus, les ilistanei^ îles points a I’ori{»lne lî^e par rt, A, ,r; b\ .v\ cette relation tle^ienl
rt — T
donne, par le devehqqKMuenl entre .r et .1', une expiession de la forme A -h b.» 4- r.a' 4- I) =i 0.
CDAFITRE XVI.
Lorsque celle relaiion esl vérifiée, la droile qui joinl les points x,x' enveloppe une conique langenle aux deux droites données, et celte conique est une parabole, lors(|ue A = o, puisque alors x' devient infini en même temps que x.
Réciproquement ; Deux systèmes de points en lif^ne droite, assujettis à une relation quelconque sont liomof'rapfiiques si à un point du premier système correspond toujours un point du second, et s'il ne lui en correspond qu'un seul.
Une équation de la forme
\xx' + Bj: -f- Cx' -(- D = O
est éviderfimenl la relation la plus générale à laquelle on puisse assujettir x et x' , en vue de déterminer, par une é(] nation du premier degré {donnant toujours une solution, et n’en donnant qu’une seule), x en fonction de x', ou réciproijuemenl. Lorsque celle équation esl vérifiée, le rapport anh.arnionique de(|ualre points du prcmiier système esl égal à celui des quatre points correspondants du second, puisque le rap-
port anliarmomquc pas lorsqu on
, Bx -I- I) B V -H D
y remplace x, y, etc., par — — Y,. d ’ ’ ’ '
332. /.es distances à l'origine de deux points A et B pris sur l'axe des x étant données par l'équation ax^ -H 2/ix -+- 6 = o, et .celles de deux autres points A' et B' situés sur le même axe pur a'x’ -f- 2 li'x l)' = O, trouver la condition pour que ces deux couples de points soient conjugués harmoniques.
Soient a, {3 les distances des deux premiers points à l’origire, a.', P celles des seconds, on aura
ou bien
