Trom-er la condition pour que lu droite

\x -+- vy = O

soit divisée harmoniquement par les deux coniques précédentes.

En éliminant y entre les équations de la droite et de l’une des coniques pour déterminer leurs points d’intersection, il vimit

{«>’ -I- c/.’ — a — 2(c>,a — f}.v — -f- /iv')a^

-h {h -h eu.’’ — y fp-v ) = o ;

si l’on écrit la condition (332) pour que ces points soient conjugués harmoniques des points correspondants de l’autre conique, on trouve

(hc' -h b'c — iff ( en' -I- c'a — igü' ) 'J-'

-I- ( rt // -f a' h — Ttfih') v’

-f- 2{gli'-\-g'h—nf —a'f)uv-h^{lif'-hti'f—l>g' — b'g)yA

Il faut donc (|uela droite enveloppe une conique {*).

336. Involulion. — Deux systèmes de points «, b, c,..; a', b', c,... situés sur la même droite sont liomograpliiques (331)

(*J I.orsquVn remplaçant, tîaiis l'éqiialiuii de deux coniques U et V, a par /« -H etc., on obtient les nsultats

;*i; ;*v 4- a;/xQ-+-

il est facile de voir, comme ci-desmis, que T V'4- U' V — jPQ represt'nle les deux droites tpi'on peut mener par (a', y'), de manière à ce quVlles

soient divisées harmoni<|iiement par les coniques. On (anit voir, en outre (290)^ que le système des quatre droites joignant >*ux inlerMTtioiis di's

coniques a pour équation

(UV'h- ü'V — 2PQ)*= ,'| (Il U'— P*)(V V'— Q'), i;U'— *P*, V V' — Q* étant les couples de tangentes menees aux coniques par

riiAPiTRE xri.

lorsque les ilislances X, x' à une origine quelconque de deux points correspondants ou conjugués satisfont à une relation de la forme

Kxx' -4- Bx -+- Cx' -f D = O.

(’ette é(|uation n'étant pas symétrique en x et x', un point de

la ligne n'aura pas, en général, le même point correspondant

suivant (|u'on le considérera comme faisant partie de l'un ou

de l'autre des systèmes. Ainsi au point situé à une distance x

corri'spondent respectivement les points situés aux distances

Bx -I- D Cx -I- D , .

— • selon qu on le considéré commean-

Ax -H L Ax + B

partenant au premier ou second système.

Deux systèmes homographiques situés sur la même droite forment un syslènie en ini'oliition lorsqu'on peut trouver sur la droite un point qui, considéré successivement comme appartenant à l'un et à l'autre système, corresponde toujours au même point, l-'éiiiiation précédente devant alors être symétrique en X et x' , on aura B = C, et on pourra la mettre sous la forme

Lors(|ue les distances à l'origine des deux points correspondants sont données par

rtx’ ■+- 1/1X + b = (I,*

A è -H Brt — 2 H // = o.

337. Un système en involution se compose donc d'un certain nombre de points a, a': b, b',..., en ligne droite, tels que le rapport anharmonlt|ue de quatre quelconques d'cntfc eux est égal à celui des quatre points correspondants. En exprimant l'égalité de ces rapports, on peut arrivera diverses relations entre les distances mutuelles de ces jioinls. Ainsi, de

{(ibf(i') {(l'h'v'a)

on tire

nb.co' (ïb'.r'fi tui’.br ti'a.b'e''

PROPRIÉTÉS HARUOMQUES ET AMIARMOMgl'ES.

par suite,

ab.ca' . b‘c' = — a' b' .c'a. bc.

Le développement des diverses relations auxquelles on peut ainsi arriver ne présente aucune difficulté.