Puisqu’en général le point correspondant à x est donné
par — point est situe a I inhni lorsqu on a
Ax 4- H = O ; donc : Le centre est te point dont le conjugué est à r infini.
On arriverait à la même conclusion en partant de la relation
c’est-à (lire de
( ahcc' ) = ( a'b'c’c),
ac bc’ a' c' . b'c
ac' .bc a'c b'c'
cl en supposant c' à l'infini •, car alors bc' — ac', a'c' = b'c', et
la relation se réduit à
r.llAI'ITKE XVI.
ac.a'c = hc.b'c.
Elle exprime que le produit des distances au point c de deux points corrcspondanls est constant, c ayant son conjugué à l’infini. Elle peut se mettre sous l'une ou l’autre des formes
eu . ca' =: -f /) ’, en .ca' = — h\
suivant que le contre est en dehors des deux points qui se correspondent ou bien entre ces points.
3i0. Un point qui coïncide avec son conjugué est un foyer du système. Il y a évidemment deux foyers/,/' également distants du centre, et situés l’un d’un côté, l’autre de l’autre de ce centre. La distance cf du foyer au centre est donnée
Lorsque /i’ est pris avec le signe +, c’est-à-dire lorsque deux points conjugués sont toujours d’un même coté du centre, les foyers sont réels; dans l’autre cas ils sont imaginaires.
En faisant X dans l’é()uation qui relie les distances à une origine quelconque, de deux points (jui se correspondetit, on trouve
pour déterminer les distances des foyers à cette origine.
.3il. Lorsqu’un couple de points conjugués est donné par l’équation
ux’ 4- a/ix -t- = O,
les coefficients de celte équation satisfont à la relation A è -H B rt — 2 U /i = O ( 336 ).
Donc (332) : Veux points conjugués quelcom/ues forment avec les foyers une division harmonique.
Ce th('*orème peut aussi se déduire de l’égalité
("//■'«')= («'/Tfl),
PROPRIËTËS II VKNONIQl'ES ET A>HARMOMQUES.
qui donne
nf a'.f n'f.nf aa'.ff a'a.ff'
ou
Les poinis a, a' divisenl donc intéricuremenl ou exlérieuremenl la distance ff des deux foyers en segments qui sont respectivement dans le même rapport.
Corollaire. — Lorsqu’un des foyers est à l'infini, l’autre foyer divise en deux parties égales lu distance comprise entre deux poinis conjugués; la distance uh entre deux poinis quelcom|ues du système est alors égale à la distance a' b' de leurs poinis correspondants.
3't2. Deux couples de points déterminent un système en involution. Ola résulte de ce qu'en prenant arbitrairement deux couples de poinis
ux' •J.hx -4- /> = O, a'x’ j.lt'x + b' = 0, on peut toujours déterminer A, II, B par les équations \b -y B a — 2II/1 = O, \b' -h Bu' — a II/i' = o.
Il est facile de voir, comme au n° 333, qu’un couple quelconque de poinis formant avec les deux couples précédents un système en involution peut être représenté par une équation de la forme
( ax^ -y 2 h X b) -h ').(a'x'‘ -f- 2/1'ar -t- b') = o, puisque les valeurs de A, II, B
a{a/i' — a'h), a(/iè' — h'b), {ab' — a'b),
déterminées d’après les équations précédentes, satisfont à lu relation
(*) La coiidiliun pour que
trois couples de points «x*-h q/u -h ^ = o,
