CHAPITRE XVI

On a ainsi, pour délerminer les foyers da système défini par les deux couples de points donnés, l’équation

(ah' — ff'/i )x^ -i- (ab' — a' b]x + { lib' — h'b) = o .

Otte équation peut se mettre sous une autre forme, en rendant homogènes, par l’introduction d’une nouvelle variable r, les équations des couples de points, qui deviennent alors

U = ax’ 4-2/1 x y ■+■ b r\ V = a'x^ 2 h'xy ■+- b' y';

ce qui donne, pour déterminer les foyers,

rf V ^

d X dy dy d x

Les foyers du système défini par les deux couples de points a, a'; b, b' peuvent aussi se déduire de l’égalité

(afbn') = {n'fb’a),

qui donne

af.ba' a'f.b'a

a'f.ba af.b'a’'

d'où

af ’.n'f y. ab.ab’ : a' b .n' b' \

le point f est alors déterminé par la condition de diviser intérieurement (ou extérieurement) la distance aa' dans un rapport donné.

:1V3. La relation entre les segments formés par six points en involution est la même que celle (pii existe entre les sinus des angles correspondants formés en joignant ces six points à un point fixe (313). Donc ;

' Le faisceau formé en joignant ii un point fixe six points en

-iA'x -t* O, ih"x -f- o nppnriifrtnoiit à un môme système

en involution, s'obtumt en cjalnnt à zéro te <leterininaiit

PROPHIËTÊS IIARHÜMQLES ET AMIARHOMQUES. 4^7

involutioH Jélermine sur une transversale quelconque sic points en involution.

La fleure réciproque tle six points en involution est iin faisceau en involution.

La plupart des é(|ualions trouvées précédemment s’appliquent étsalement aux droites issues d'un même point. Ainsi : un couple de droites a — u|3, a — appartient à un faisceau en involution, lorsqu’oti a

A pp' + II ( a u' ) -)- B - ■ O ;

et les deux couples de droites

U = rt a’ + 2 h aj3 -t- l) V = a' a’ -t- 2 /i' a& -4-

déterminent un faisceau en involution qui a pour ravons focaux (c’est-à-dire aboutissant aux fovers de la division déterminée sur une transversale par le faisceau) les droites

(a h' — a' h ) -h { a h' — a' b) -p { h b' — h' b)^' = o, ou

dx dp dp dx

34i. Les coniques passant par quatre points fixes déterminent sur une transversale un système de points en involution.

Prenons la transversale pour axe des x : S et S' étant deux des coniques considérées, S -+- /rS' en sera une troisième; et si l’on fait j=o dans les équations de ces coniques, on a, pour déterminer les points où elles coupent les transversales,

rtX’ -f- 2^X -t- O, a' X’ -h xg' X -i- c‘ — O, ax' -H xgx -(- c -t- X ( rt' x’ -t- "ig'x -t- c') = O ;

le dernier couple forme avec les premiers un système en involution (3W). On peut encore démontrer ce théorème de la manière suivante: a,b,c,d étant les quatre points fixes io4) et A, A' les points où la transversale AA' rencontre la courbe.