CHAPITRE XVI

on n, d’après la propriété anharmonique dos coniques,

( a, A (/ 1> A'] = ( c, A ill> A' ) ;

par suite, pour les points où AA' rencontre les ravons du

faisceau.

(ACIJA')=(AB'C'A')=(A'C'B'A).

Les points A, A' appartiennent donc au système en involution déterminé parles points B, B',C, C',oii la transversale rencontre les côtés du quadrilatère formé par les points fixes.

En formant le théorème réciproque, du précédent, on voit que :

Les couples lie langentes menées par un point quelconque nux coniques inscrites dans un quadrilatère forment un faisceau en involution.

343. Les diagonales ac, bd peuvent être considérées comme une conique passant par les quatre points fixes ; par suite. Iss côtés et les diagonales d'un quadrilatère rtéterminent sur une transversale un système de points B, B'; C, C';I),I)'en involution. Ce théorème (cas particulier du précédent) nous permet de trouver le point conjugué C' d’un point C dans le système en involution déterminé jiar les couples de points BB', DI)'. Il suffit pour cela, en ]>rcnant un point quelconque a. de mener les droites nB, ol), oC. et de construire le triangle bed ayant ses sommets sur ces droites, et dont deux côtés passent par B' et D'; le troisième côté passera par C' conjugué de (]. Ün peut prendre le point a à l’infini, et alors les droites aB, al), rtC sont parallèles.

PRorniËTÊs iiA«MOM(jt;ts et anharmomoees. 43<)

Si l’on suppose le point C à l’infini, on obtient de celte manière le centre du système. La construction est alors la suivante : Mener par B,ü deux parallèles Hè, De; et par H',D' deux autres parallèles D'è, B'e (dont la direction difl'èro de celle des premières); la droite hc passera par le centre du système.

EXERCICES

I. Lorsque trois coniques sont circonscrites au mèn.e quadrilatère, la tangente coninnme à deux de ces coniques est divisée llarmoniquement par la troisième.

Ia’S points de contact de la tangente sont alors les foyers du •système en invülulion.

II. La tangente menée par rinterseclion des cordes communes di? deux coniques à une de ces coniques est divisée liai moniquement par l’autre.

Les points D cl D' [Jîf;. 104 ) coïncident alors, et par suite se trouvent à un foyer.

III. Lorsque deux coniques ont un double contact , ou un contact du troisième ordre, toute tangente à l'une est divisée harmoniquement par l'autre conique et la corde de contact.

Gir alors les cordes communes coïncident, et le point où la transversale rencontre la corde de contact est un foyer.

IV. Décrire une conique [lassant par ipiatre points «, h, r, tl, et tangents à une droite donnée Cl’.'.

Iæ point de contact est un des foyers du système BB', C.C', .... cl peut être déterminé d'après les indications du n° tUi. Le problème admet donc deux solutions.

V. Lorsqu’une parallèle à une asymptote rencontre en C la courbe circonscrite à un quadrilatère, et en iiùrrl les côtés de ce quadrilatère, on a la relation

Cn.Cc = Cl). Cl/,

puisque C est le centre du système.

VI. Résoudre les |iroblèmes du n“ 32li, en se basant sur la Ihéoiie do rinvolnliori.

Dans l’Exercice I,K est un foyer; dans l'Exercice II, T est aussi un foyer; dans l'Exercice 111, T est un centre, etc.