CHAPITRE XVI

VII. Los sogmonls d’une sécante compris enlre une lijperbole et lesasymptotes sont égaux.

Dans ce cas un des foyers du système est à l’infini (‘311, Cor.).

34G. Les coniques ayant un trianf^le aulopolaire apyeenimun déterminent sur les transversales menées par un des sommets de ce triangle des systèmes en involiition.

I.cs points d’intersection de la transversale a r= /, [3 avec une de CCS coniques «a' + 6j3’ + c/' = o, étant donnés par

(rt /i ’ H- cy’ = O,

sont conjugués liarmoniquenient avec les points où cette transversale rencontre (3 et y. Ainsi, en particulier, les coni- (|ues inscrites dans un quadrilatère déterniinent un système en involution sur la transversale menée par une des intersections des diagonales de ce quadrilatère (14C, Ex. 111). I^s points où cette transversale rencontre les deux autres diagonales sont les foyers, et ceux où elle rencontre les côtés opposés du quadrilatère sont des points conjugués.

EXERCICES

I. Lorsque deux coniques U et V touchent leurs tangentes communes A,B,C,I) aux points a,i,c,d,a', h\c',d', la deuxième corde d'intersection de V, avec la conique S menée par n, b, r et tangente à D en d', passe I>ar les intersections respectives de A, B et C, avec bc, ca et ab.

Soient a, 6 les points où V rencontre né; d'après ce qui précède, ait passant par l’intersection des diagonales de ABtiD (2G3, Ex. ll),rt,è et a. J5 appartiennent au système en involution dans lequel les points où nb rencontre C et D sont conjugués. D’ailleurs (3-45) les cordes communes à S et à V coupent ab en des )><dnts qui font partie du même système, déterminé par les points n, b et a, S où S et V rencontrent nb. Si donc D est une des cordes communes, l’autre passe par l’intersection de C avec ab.

II. Dans un triangle, on inscrit une ellipse tangente aux côtés .A, B, C en leurs milieux «, A, r et un cercle tourliant ces mêmes côtés en r7',A’,r; si la quatrième tangente D commune au cercle et à l’ellipse louche le cercle en d', d' est le point de contact du cercle inscrit avec le cercle mené par les milieux a, A, c des côtés.

I>R0PHIÉT£S lUBMONigi'ES ET AMURMOMUtES. 44'

D'il près l’Excriice I, une conique menée par «, i, douche le cercle inscrit en il' lorsqu’elle passe par les points de rencontre de ce cercle avec la droite qui joint les intersections respeclives de A, B et C avec bc, en et ab. Dans le cas actuel, cette droite est à l’infini : donc la conique tanpente est un cercle. Cette démonstration du théorème do Feuerbach (132. Ex. IV), comme cas particulier du précédent, est duo à M. W.-R. llamillon.

On peut construire le point il' et la droite D sans tracer l'ellipse.

Les diagonales d’un quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit correspondant, se coupent en un même point; par suite les droites ab, cil, a'b', c'il' et celles qui joignent AD, BC; .AC, BD passent par un même point.

Si donc X, P, y sont les sommets du triangle déterminé par les intersections de br et b’c' , en et c’a', iib et a'b', les droites a'x, b'p, c'y se coupent en il'.

En d’autres termes, le triangle xf.y est homologue aux triangles abc, n'b'c' , d et il' étant les centres d’homologie. De même les triangles »6y et ABC sont homologues et ont la droite D pour axe d’homolugic.