CHAPITRE XVII

MÉTHODE DES PROJECTIONS f)

§ 1. — PhOJECTIOSS COMQl'KS.

3i7. F.a môihode des projections, dont nous allons donner un exposé succinct, permet de déduire d'un théorème donné et restreint le théorème général auquel il se rattache et dont il n’est qu’un cas particulier. Sa supériorité, comme instrument de recherche, ne saurait échapper au lecteur, qui a pu voir déjà tout le parti qu’on pouvait tirer de l’étude des théorèmes particuliers renfermés dans un énoncé général.

Les droites qui joignent tous les points d’une ligure h un point O de l’espace forment un cône dont le point O est le sommet. La section de ce cône par un plan détermine une figure qui est la projection de la figure donnée. Le plan de la section s’appelle plan de projection.

La droite qui joint un point A au sommet O rencontre le plan de projection en un point a qui est la projection du point A, donc :

L n point se projette suivant an point.

En joignant tous les points d’une droite au sommet, on forme un plan qui rencontre le plan de projection suivant une droite, par suite :

(*) m<-tbo.îc» a èU* par Pnncrlft, qui Ta oxpoM« dan* son

Tnu’tr riei Proprirlrs projectivrs r/r.t fif*urcs, en 182a et n*édité et îWO

(a vol. in-4; Paris, ttoiilhier-Vlllars}. Oan* rel Ouvrage, qui peut ètn* considère connue le point de «léparl dt» )a Géométrie moderne, «t» trouvent d«*veloppe» les princiju's suivants : !.c*s théorèmes relatifs h des points nPinliiii peuvent s’éleiidre il des points sitiu*s à une distance liiiîe sur une droite; les tluM»rt-ines rapportant à des systèmes de cercles s’appliipient à des coniques ayant deux jK>ints ctïmmniis; enfin, les théorèmes relatifs à des points et à des drtntes imn-> ginairt's peuvent s’étendre à des droites et à des points rwls.

MÉTHODE DKS PROJECTIONS.

Une droite se projette toujours suivant une droite.

Lors donc qu’un certain nombre de points d'une figure se trouvent en ligne droite, les points qui leur correspondent dans la projection sont aussi en ligne droite; et lorsque plusieurs droites passent par un même point, leurs projections passent aussi par un même point.

3V8. L'ne courbe plane se projette suivant une courbe de . même de^ré.

Lorsqu’une courbe donnée est coupée par une droite en un certain nombre de points A, H, C, D, . . . , sa projection rencontre la projection de la droite suivant le même nombre de points a, b, e, d,... correspondant aux premiers : la courbe et sa projection sont donc de même degré, puisque, géométriquement, le degré d’une courbe se détermine par le nombre de points suivant lesquels elle peut être rencontrée par une droite. Lorsque AB coupe la courbe en des points réeis et imaginaires, ab rencontre la projection suivant le même nombre de points réels et le môme nombre de points imaginaires. Lorsque deux courbes se coupent, leurs projections se coupent suivant le même nombre de points; et à un point réel ou imaginaire de l’intersection des courbes correspond toujours un point réel ou imaginaire de l’intersection des projections.

La corde AB d’une courbe se projette suivant la droite ab qui joint ics points correspondants de la projection. Lorsriue A cl B coïncident, il en est de même de a et h; par suite ;

La projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de cette courbe.

Plus généralement, lorsque deux coui'bcs se toucbeul en un certain nombre de points, leurs projections se toucbcnl suivant le même nombre de points.

3i9. Lorsrjue le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection rencontre suivant la droite -AB le plan de la figure primitive, tout faisceau de droites ayant

CIUPITRE XVII.

son sommet sur AB se projette suivant un système de droites parallèles. En effet, la droite menée du sommet à un point quelconque de AB rencontre le plan de projection de riiifini.

Réciproquement, un système de droites parallèles se projette suivant un faisceau de droites ayant son sommet sur la droite DF intersection du plan de projection avec le plan mené par le sommet parallèlement au plan de la rigure primitive.

Les droites parallèles peuvent donc être considérées comme passant par un même point à l'infini, puisque leurs projections passent par un même point situé, en général, à une distance finie. De plus, tous les points à l’infini peuvent être considérés comme appartenant à une même droite, puisque la projection du point d'intersection des droites parallèles se projette quelque part, sur la droite DF du plan de projection.

350. Toutes les propriétés descriptives d'une courbe, c’està-dire n'ayant rapport qu'à la position des points ou des lignes, indépendamment de toute condition de grandeur de lignes ou d’anglês, subsistent pour toutes les courbes suivant lesquelles on peut la projeter. C’est ce qui arrive, par exemple, dans le cas du théorème suivant; les tangentes menées à un cercle par les extrémités des cordes issues d’un point fixe, se coupent sur une droite fixe. Ainsi, lorsque nous aurons démontré qu’un cercle peut toujours être considéré comme la projection d’une conique, nous pourrons, par la méthode des projections, étendre à toutes les sections coniques les propriétés des pôles et polaires dans le cercle. Le théorème de Pascal, celui de Brianchon sont relatifs à des propriétés do même genre; et en les démontrant dans le cas du cercle, on prouvera, par cela même, qu’ils s’appliquent à toutes les courbes du deuxième degré.

351. Les propriétés d’une figure qui subsistent dans sa projection portent le nom de propriétés projectives. En dehors des propriétés descriptives dont nous avons parlé au numéro précédent, il y a un certain nombre de propriétés métriques, c’est-à-dire relatives à la grandeur des lignes qui sont projec-

MÉTHODE DES PnOJECTIONS. 44^

livcs. Ainsi le rapport anhartnoniquc ( ABCD) de quatre points situés en ligne droite est le même que celui {ahed) de leurs projections, puisqu’ils sont l’un et Tautre mesurés par le faisceau (0, ABCD), qui joint les points A, B, C, D au sommet 0 du cône. En général, si les distances mutuelles d’un certain nombre de points en ligne droite A, B, C, D, ..., vérifient une équation telle que

AB. CD. EF -t- /r.AC.BE.DF-t- /.AD.CE.BF-t- ... = o,

dont chaque terme renferme le même nombre de points, quoique dans un ordre différent; cette équation exprime une propriété projective. En effet (311), si l’on j remplace AB, AC, . . . , par

OA.OB.sin.AOB O.V.OC.sinAOC OP ’ OP ’

OP étant la distance du sommet à la droite, chacun de ses

termes contient OV.OB.OC.OD.OE.OF au numérateur et

OP au dénominateur; et en supprimant ces facteurs communs on obtient une relation entre les sinus des angles formés au point 0. Il n’est pas même nécessaire que les points A, B, C, D, E, F soient en ligne droite pour que l’équation ci-dessus exprime une propriété projective; il suffit qu’ils soient pris de telle sorte, qu’après la substitution chacun des termes de l’ét|uation contienne au dénominateur le même produit

OP. OP'. OP" -Ainsi à cette dernière catégorie se rattache

le théorème suivant : Les droites menées d’un même point 0 aux sommets d’un triangle .ABC rencontrent les côtés opposés en des points a, b, c tels que .A ô. Bc. C« = Ac.Ba.tiè. Il suffit.dès lors de le démontrer pour une projection quelconque du triangle. Si l’on suppose que le point (i se projette à l'infini, AC, BC, Ce deviennent parallèles, et la relation précédente se réduit à l’équation

Aè.Be = Ac.Ba,

qu’il est facile de vérifier en construisant la figure.

,{4t> CHAPITRE XVII.

352. De là résiille que, pour démontrer une propriété projective, il suffit de prouver qu’elle a lieu pour la figure la p/«î suivant laquelle on peut projeter la figure donnée.

Supposons, par exemple, qu'il s’agisse de trouver les propriétés harmoniiiues du quadrilatère complet ABCD. Les côtés opposés SC coupant en E, F, les diagonales en G, joignons tous les points de la figure à un point O de l’espace et prenons pour plan de projection un plan parallèle à OEF. La ligne EF SC projettera à l’infini, et nous aurons un nouveau quadrilatère dont les côtés ab et c</, ad et bc seront respectivement parallèles, puisqu’ils se rencontrent en des points e et/ situés à l’infini. On voit donc (|ue tout ijtiadiilalère peut être projeté suh’ani UH parallélo"ramnte; cl comme les diagonales d’un parallélogramme se coupent inutuellcment en deux partieségales, la diagonale ac est divisée liarinoniquement en a, ", c et au point oit elle rencontre la ligne à l’infini ef. Donc la diagonale AB est divisée liarnioniquement en A, G, 0 et au point oit elle rencontre EF.

EXERCICE

Lorsque, dans deux triangles ABC, A BC' les |H)inl8 d’interscctiun AB et A' B', BC et B'C', CA et C'A' sont en ligne droite, les droites AA', BB’, CC' passent par un mémo point.

Si l’on projette à linlini la droite suivant laquelle .AB, A'B',... se coupent, le tlitsirome à démontrer se ramène au suivant ; I,orsque deux triangles iil/r, n'b'r ont leurs côtés respectivement parallèles, les droites an', Ob', rc' se coupent en un môme point. Celte dernière proposition est évidente, puisipie an' et bb' divisent cc' dans le même rapport.

333. .Afin de ne pas interrompre l’exposé des application.s de la niétliode des projections, nous renverrons à un autre paragraphe la détnonstration des théorèmes suivants :

L ue conique peut être considérée comme ta projection d’un cercle.

On peut, par un choix convenable du sommet et du plan de projection, projeter une conique suivant un cercle de telle sorte qu'une droite de son plan se projette à l’injini.

Ces théorèmes conduisent aux propositions suivantes :

MÉTHODE DES PROJ ECTIOXS. 4l7

On peut projeter une conique suivant un cercle ayant pour centre ta projection d’un point donné pris dans le plan de la conique. U suffit, pour cela, de faire la projection de telle sorte que la polaire du point donné se projette à l’infini (laV).

On peut projeter deux coniques situées dans un même plan suivant deux cercles. On n’a qu’à projeter l’une d’elles suivant un cercle, de telle façon qu’une de leurs cordes d'intersection se projette à l'infini; car alors (2Ü7) la projection de la seconde conique passant par les mômes points à l’infini que le cercle, sera aussi un cercle.

On peut projeter deux coniques ayant un double contact suivant deux cercles concentriques. Il suffit de projeter une des coniques suivant un cercle de telle manière que sa corde de contact avec l’autre se projette à l'infini (251 ).

3o'e. Les exercices suivants serviront à montrer comment on peut déduire les propriétés des sections coniques, soit des propriétés du cercle, soit de certaines propriétés plus simples des coniques elles-mêmes.

EXEllCICELS.

I. Toute sécante menée par un point est divisée harmoniquement par la conique et la polaire de ce point.

Ce théorème et son réciproque .sont relatifs à fies piopriétés projectives (351 ) ; ils sont vrais pour le cercle, ils sont donc vrais pour les coniques. Par suite, toutes les propriétés du cercle qui dépendent de la théorie des pôles et jiolaires subsistent pour les sections coniques.

II. Les propriétés anharmoniques des points et des tangentes à uneconique sont des propriétés projectives, (|ui, ayant été démontrées dans le cas du cercle (312), sont, par cela môme, démontrées pour toutes les coniques.

III. Le théorème de Carnot (313) : lorsqu'une conique rencontre les côlés d'un triangle .\BD en a, a', h, //, r, c', on a la relation

.KÙ.Xb'.hc.üc'.Ca.Cn' = Af .Ar'.Bo.Bo'.Cô.Cô'

est une propriété projective qu'il suffit de prouver dans le cas du cercle. Mais alors elle est évidente, puisque

. Xb.Xb' — A c . .V r' ; . . .

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CriAriTRE XVII.

On diTncnlrorait de la même manière que ce llièorème subsiste pour un polygone quelconque.

IV. On peut déduire du lliéorème de Carnot les diflércnts théorèmes du II" 1 48, en siqiposant le point C à l'infini. Car on a alors

kh.kh' Brt.Brt'

kc.kc' Br.Bc'’

les lignes kh et B« étant parallèles.